1.Calcule.

A) ∫ tan ⁡ x sec 3 ⁡ x   d x

Passo 1

Uma questão que precisaremos fazer uma simples substituição, mas vamos com calma e atenção. Antes de fazermos a integral propriamente, iremos dar uma mudada na “cara” da integral para ficar mais fácil a sua substituição, vamos lá:

∫ tan ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = ∫ sec 2 ⁡ x tan ⁡ x   sec ⁡ x   d x

Com essa mudança apenas no aspecto, chamaremos sec ⁡ x   de u :

sec ⁡ x = u

Temos que ter TODOS os termos em função de u , inclusive d x e como faremos isso? Sem estresse, iremos derivar a expressão:

( sec ⁡ x ) '   = ( u ) '

sec ⁡ x tan ⁡ x d x = d u

Passo 2

Momento de reflexão: Temos tudo em função de u ? Quase né, falta colocarmos a sec 2 ⁡ x em função de u , e não é difícil, vem comigo:

sec ⁡ x = u

Elevando ao quadrado:

sec 2 ⁡ x = u 2

Não se esqueça do d x , é um passo importante para resolvermos:

sec ⁡ x tan ⁡ x d x = d u

Agora temos tudo em função de u , nossa primeira missão foi concluída, Substituiremos:

∫ tan ⁡ x sec 3 ⁡ x d x   = ∫ sec 2 ⁡ x tan ⁡ x   sec ⁡ x   d x = ∫ u 2 d u

Passo 3

A integral acima é café com leite, lembra? Está aí caso não lembre: ( ∫ u n d u   =   1 n + 1 u n + 1 + c ):

Para a nossa integral, n = 2 :

∫ u 2 d u = 1 3 u 3 + c

A nossa resposta não deve ser em função de u hein, mas sim em função de x ( sec ⁡ x = u ) . Retornando e obteremos a resposta:

∫ tan ⁡ x sec 3 ⁡ x   d x = 1 3 sec 3 ⁡ x + c

Resposta

∫ tan ⁡ x sec 3 ⁡ x   d x = 1 3 sec 3 ⁡ x + c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados