3.Calcule.

∫ cos 2 ⁡ x sin 2 ⁡ x d x

Passo 1

Oi, galerinha! Antes de tentar resolver essa integral, vamos dar uma mexida nessa função!

Repare que a expressão é quase a formula da equação trigonométrica da soma dos arcos:

2 sin ⁡ x cos ⁡ x = sin ⁡ 2 x

Vamos mexer no equação dentro da integral para que fique parecido com isso :

sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x 2 2

sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = sin ⁡ 2 x 2 2

Concluindo

sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = sin 2 ⁡ 2 x 4

Então ficamos com a seguinte integral,

∫ cos 2 ⁡ x sin 2 ⁡ x d x = 1 4 ∫ sin 2 ⁡ 2 x d x

Passo 2

Para resolvermos este tipo de Integral temos que lembrar da seguinte formula:

sin 2 ⁡ a = 1 2 - cos 2 ⁡ 2 a 2

Para a = 2 x   teremos:

sin 2 ⁡ 2 x = 1 2 - cos 2 ⁡ 2 x 2

Substituindo na integral

∫ cos 2 ⁡ x sin 2 ⁡ x d x = 1 4 ∫ 1 2 - cos 2 ⁡ 2 x 2 d x

Resolvendo essa integral,

∫ cos 2 ⁡ x sin 2 ⁡ x d x = 1 4 x 2 - sin ⁡ 4 x 8

∫ cos 2 ⁡ x sin 2 ⁡ x d x = x 8 - sin ⁡ 4 x 32 + C

Resposta

∫ cos 2 ⁡ x sin 2 ⁡ x d x = x 8 - sin ⁡ 4 x 32 + C

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