1.Calcule

C) ∫ - π 2 π 2 sin ⁡ 3 x cos ⁡ x d x

Passo 1

Lembrando da Formula :

sin ⁡ a cos ⁡ b =   1 2 sin ( ⁡ a + b ) + sin ⁡ ( a - b )

Para a = 3x e b   = x temos :

sin ⁡ 3 x cos ⁡ x =   1 2 sin ( ⁡ 4 x ) + sin ⁡ ( 2 x )

Passo 2

Agora substituiremos a expressão na integral e calcularemos sua primitiva :

∫ sin ⁡ 3 x cos ⁡ x d x = 1 2 ∫ sin ⁡ 4 x d x + 1 2 ∫ sin ⁡ 2 x d x

∫ sin ⁡ 3 x cos ⁡ x d x = 1 2 - 1 4 cos ⁡ 4 x +   1 2 1 2 cos ⁡ 2 x + C

∫ sin ⁡ 3 x cos ⁡ x d x = - 1 8 cos ⁡ 4 x + 1 4 cos ⁡ 2 x + C

Passo 3

Lembrando que : cos ⁡ x = cos ⁡ ( - x )

Calcularemos a Integral definida :

∫ - π 2 π 2 sin ⁡ 3 x cos ⁡ x d x   = - 1 8 cos ⁡ 2 π + 1 4 cos ⁡ π -   - 1 8 cos ⁡ - 2 π   +   1 4 cos ⁡ - π

∫ - π 2 π 2 sin ⁡ 3 x cos ⁡ x d x   = = - 1 8 cos ⁡ 2 π + 1 4 cos ⁡ π +   1 8 cos ⁡ 2 π   -   1 4 cos ⁡ π

Lembrando que cos ⁡ 2 π   = 0 e cos ⁡ π   = - 1 , temos:

Resposta

∫ - π 2 π 2 sin ⁡ 3 x cos ⁡ x d x   = 0

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