Enunciado

20- A altura h de ondas em mar aberto depende da rapidez do vento v e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela intensidade. Os valores da função h = f ( v , t ) são apresentados na seguinte tabela.

Use a tabela para determinar uma aproximação linear da função altura da onda quando v está próximo de 20   h o r a s . Em seguida, estime a altura das ondas quando está ventando por 24   h o r a s a 43   n ó s .

Passo 1

Para estimar o valor de h vamos ter que utilizar o ponto da tabela que está mais próximo do que queremos que seria v , t = ( 43,24 ) e para isso temos o ponto mais próximo em a , b = ( 40,20 ) . A função de linearização para h será igual a:

h v , t ≈ f a , b + f v a , b v - a + f t ( a , b ) ( t - b )

Onde a = 40 , b = 20 e :

f 40,20 = 28

Passo 2

Fica o dever de calcular as derivadas em v e em t nesses pontos e para isso vamos pegar a média da variação do ponto de interesse com o ponto anterior e com o ponto seguinte de modo que teremos:

f v ( 40,20 ) = 1 2 f 50,20 - f 40,20 10 + f 30,20 - f 40,20 - 10

Entendeu? Usa a definição de derivada por limite nos pontos anterior e posterior (na direção de v , que é a vertical na tabela) e depois fazer a média disso, isso nos dá a derivada na direção v no ponto que queremos na tabela.

Fazendo a conta temos:

f v 40,20 = 1 2 40 - 28 10 + 17 - 28 - 10 = 1.15

Agora para calcular f t :

f t 40,20 = 1 2 f 40,30 - f ( 40,20 ) 10 + f 40,15 - f ( 40,20 ) - 5

Aqui temos que analisar a variação em t   (horizontal na tabela) do ponto anterior e posterior e notar que varia 5 pro anterior(sinal negativo) e 10 pro próximo.

Dessa forma:

f t 40,20 = 1 2 31 - 28 10 + 25 - 28 - 5 = 0.45

Passo 3

Dessa forma a equação de linearização fica:

h v , t ≈ 28 + 1.15 v - 40 + 0.45 ( t - 20 )

Agora substituindo os valores de v = 43 e t = 24 nessa equação de linearização nós teremos:

h 43,24 ≈ 28 + 1.15 43 - 40 + 0.45 24 - 20 = 33.25   u a

Utilizei u a (unidade de altura) pois ele não fala se essa altura é em pés, metros, quantos carros populares de altura hahaha então é um h genérico.

Resposta

L v , t ≈ 28 + 1.15 v - 40 + 0.45 ( t - 20 )

h = 33.25   u a

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