Enunciado

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

24- Limitada pelo paraboloide z = 10 - 3 x 2 - 3 y 2 e pelo plano z = 4 .

Passo 1

Nós temos o paraboloide mas não tem a área plana que intersecta o paraboloide com o plano, para isso vamos igualar os dois z :

10 - 3 x 2 - 3 y 2 = 4

3 x 2 + 3 y 2 = 6

x 2 + y 2 = 2

Logo a área da base no plano z = 4 é o círculo de r = 2 , o que nos dá então a integral:

V = ∫ 0 2 ∫ 0 2 π 10 - 3 x 2 - 3 y 2 - 4 d A

A altura será a altura do paraboloide q f ( x , y ) menos a altura da base.

Convertendo o paraboloide em coordenadas polares nós teremos:

V = ∫ 0 2 ∫ 0 2 π 6 - 3 r c o s   θ 2 - 3 ( r sin ⁡ θ ) 2 r   d r   d θ

O que nos dá:

V = ∫ 0 2 ∫ 0 2 π ( 6 - 3 [ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ ] )     r   d r   d θ

V = ∫ 0 2 ∫ 0 2 π 6 r - 3 r 3 d r   d θ

Passo 2

Resolvendo a integral temos:

V = θ 0 2 π × 6 2 r 2 - 3 r 4 4 0 2

Aplicando o intervalo:

V = 2 π × 3 × 2 - 3 4 2 4 = 6 π

Resposta

V = 6 π

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