Enunciado

21-24 Use o gráfico de f mostrado em cada figura para estimar todos os valores de x nos quais f tem (a) mínimos relativos, (b) máximos relativos e (c) pontos de inflexão; (d) esboce um gráfico rudimentar de uma função f com a derivada dada.

Passo 1

Galerinhaaa, para resolver essa questão nós temos que analisar esse gráfico.

Como f ´ 0 = 0 e f ´ 2 = 0 ,   nós podemos dizer que x = 0 e x = 2 são pontos críticos, agora, nos resta saber se eles são pontos de máximo ou mínimo, né ?

Bom... Se nós tivéssemos uma expressão para f ´ ( x ) , o que nós faríamos ???

Pelo teste da primeira derivada deveríamos, primeiro, achar os pontos críticos, ou seja, igualar a função a zero, ahhhh, mas isso nós já temos...

Depois nós teríamos que checar como a f ´ ( x ) se comporta antes e depois de x 0 .Como o exercício nos deu o gráfico fica fácil analisar essa função.

Para x = 0 , f x > 0 à sua esquerda e f x < 0 à sua direita. Isso quer dizer que esse é um máximo relativo.

Para x = 2 f x < 0 à sua esquerda e f x > 0 à sua direita. Isso quer dizer que esse é um mínimo relativo.

Passo 2

Agora, temos que ver se temos algum ponto de inflexão.

Gente, olha só, quando nós fazemos o teste da segunda derivada para encontramos os pontos de inflexão, nós igualamos f ´ ´ ( x ) à zero e, fazemos um estudo de sinal da função em torno dos pontos em que x 0 = 0 . Dessa forma,

Quando f ´ ´ ( x ) vai de +   → - , f ´ ( x ) deixa de ser crescente e passa a ser decrescente, ou seja, nós temos um ponto de inflexão.

Quando f ´ ´ ( x ) vai de -   → + , f ´ ( x ) deixa de ser decrescente e passa a ser crescente, ou seja, nós temos um ponto de inflexão. Ok ?

Analisando o gráfico, nós percebemos que em x = 1 , a função que era decrescente passa a ser crescente e x = 3 ocorre exatamente o contrário. Isso quer dizer que, para x = 1 e x = 3 , temos 2 pontos de inflexão.

Resposta

a) x = 2

b) x = 0

c) x = 1   e   x = 3

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