Enunciado

Esboce um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais, verticais, oblíquas e curvilíneas e dê suas equações. Identifique (se houver) os pontos em que o gráfico cruza uma assíntota. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

x 2 - 2 x

Passo 1

Primeiro vamos ver se a função possui alguma simetria em relação ao eixo y , vamos substituir x por - x e vamos ver se a equação muda:

- x 2 - 2 - x = x 2 - 2 - x

A equação mudou, então não temos uma simetria no eixo y .

Passo 2

Agora vamos encontrar os cortes com os eixos coordenados fazendo y = 0 e x = 0 :

y = x 2 - 2 x → 0 = x 2 - 2 x → x 2 - 2 = 0 → x 2 = 2 → x = ± 2

y = 0 2 - 2 0

Pronto, agora sabemos onde a função corta o eixo x e não corta o eixo y .

Passo 3

Próximo passo é encontrar os valores de x com os quais o denominador é igual a zero, nesses lugares o gráfico tem uma assíntota vertical, ou seja, vai aumentando, sempre se aproximando desse valor, mas nunca toca nesse ponto:

x = 0

Temos então que possui assíntota vertical em x = 0 .

Passo 4

Próximo passo é analisar o sinal de f x , vamos analisar os lugares em que f x pode trocar de sinal, vamos ver os pontos de corte com o eixo x e nas assíntotas verticais achando intervalos e analisando se f x é positivo ou negativo nesses intervalos:

Temos então que a função é positiva nos intervalos - 2 , 0 e 2 , + ∞ e negativa nos intervalos - ∞ , 2 e 0 , 2 .

Passo 5

Agora vamos determinar o comportamento no infinito do gráfico calculando os limites de f x quando x → + ∞ e quando x → - ∞ , e se algum desses limites tiverem um valor finito L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 2 x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 - 2 x 2 x = lim x → + ∞ ⁡ x 1 - 2 x 2 = ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 2 x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 1 - 2 x 2 x = lim x → - ∞ ⁡ x 1 - 2 x 2 = - ∞

Pronto, temos então que não possui assíntota horizontal.

Passo 6

Vamos analisar a função, como o numerador tem grau maior do que o denominador podemos analisar a função:

x 2 - 2 x = x - 2 x

Agora vamos determinar o comportamento no infinito do gráfico, temos que a parcela - 2 x tende a 0 quando x → + ∞ ou x → - ∞ , assim:

f x - x → 0

Quando x → + ∞ ou x → - ∞ .

Geometricamente isso significa que o gráfico de f x vai ficando cada vez mais próximo da reta y = x quando x → + ∞ ou x → - ∞ , e essa reta é denominada assíntota oblíqua ou inclinada de f .

Passo 7

Vamos encontrar f ' x e f ' ' x :

f ' x = 2 x - 0 x - x 2 - 2 ⋅ 1 x 2 = 2 x 2 - x 2 + 2 x 2 = x 2 + 2 x 2

Fazendo f ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:

x 2 + 2 x 2 = 0 → x 2 + 2 = 0 → x 2 = - 2

Temos então que não tem ponto crítico, pois um valor al quadrado não dá um valor negativo.

Passo 8

E por último vamos calcular f ' ' x :

f ' ' x = 2 x + 0 x 2 - x 2 + 2 2 x x 4 = 2 x 3 - 2 x 3 - 4 x x 4 = - 4 x x 4 = - 4 x 3

Vamos então achar se possui algum ponto de inflexão e analisar os sinais:

- 4 x 3 = 0 → 4 ≠ 0

Não temos um ponto de inflexão.

Passo 9

Pronto, agora com todas essas informações fica mais simples de esboçar o gráfico, vamos lá:

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o roteiro desta seção para esboçar o gráfico da curva. No passo D , ache uma equação para a assíntota oblíqua. y = - 2 x 2 + 5 x - 1 2 x - 1
Use o roteiro desta seção para esboçar o gráfico da curva. No passo D , ache uma equação para a assíntota oblíqua. x y = x 2 + 4
Use o roteiro desta seção para esboçar o gráfico da curva. No passo D , ache uma equação para a assíntota oblíqua. y = x 2 + 12 x - 2
Use o comportamento assintótico de f x = cos ⁡ x +1 / x 2 para esboçar seu gráfico sem seguir o roteiro de esboço de curvas desta seção.
Mostre que a curva y = x 2 + 4 x tem duas assíntotas oblíquas: y = x + 2 e y = - x - 2 . Use esse fato para esboçar a curva.