Enunciado

Esboce um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais, verticais, oblíquas e curvilíneas e dê suas equações. Identifique (se houver) os pontos em que o gráfico cruza uma assíntota. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

x 2 - 1 x

Passo 1

Primeiro vamos ver se a função possui alguma simetria em relação ao eixo y , vamos substituir x por - x e vamos ver se a equação muda:

- x 2 - 1 - x = x 2 + 1 x

A equação mudou, então não temos uma simetria no eixo y .

Passo 2

Agora vamos encontrar os cortes com os eixos coordenados fazendo y = 0 e x = 0 :

y = x 2 - 1 x → 0 = x 2 - 1 x → x 3 - 1 x = 0 → x 3 = 1 → x = 1

y = 0 2 - 1 0

Pronto, agora sabemos onde a função corta o eixo x e não corta o eixo y .

Passo 3

Próximo passo é encontrar os valores de x com os quais o denominador é igual a zero, nesses lugares o gráfico tem uma assíntota vertical, ou seja, vai aumentando, sempre se aproximando desse valor, mas nunca toca nesse ponto:

x = 0

Temos então que possui assíntota vertical em x = 0 .

Passo 4

Próximo passo é analisar o sinal de f x , vamos analisar os lugares em que f x pode trocar de sinal, vamos ver os pontos de corte com o eixo x e nas assíntotas verticais achando intervalos e analisando se f x é positivo ou negativo nesses intervalos:

Temos então que a função é positiva nos intervalos - ∞ , 0 e 1 , + ∞ e negativa no intervalo 0,1 .

Passo 5

Agora vamos determinar o comportamento no infinito do gráfico calculando os limites de f x quando x → + ∞ e quando x → - ∞ , e se algum desses limites tiverem um valor finito L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 1 x = lim x → + ∞ ⁡ x 3 - 1 x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 - 1 x 3 = ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 1 x = lim x → - ∞ ⁡ x 3 - 1 x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 1 - 1 x 3 = ∞

Pronto, temos então que não possui assíntota horizontal.

Passo 6

Vamos analisar a função, como o numerador tem grau maior do que o denominador podemos analisar a função:

x 2 - 1 x

Agora vamos determinar o comportamento no infinito do gráfico, temos que a parcela - 1 x tende a 0 quando x → + ∞ ou x → - ∞ , assim:

f x - x 2 → 0

Quando x → + ∞ ou x → - ∞ .

Geometricamente isso significa que o gráfico de f x vai ficando cada vez mais próximo da reta y = x 2 quando x → + ∞ ou x → - ∞ , e essa reta é denominada assíntota oblíqua ou inclinada de f .

Passo 7

Vamos encontrar f ' x e f ' ' x :

f ' x = 3 x 2 - 0 x - x 3 - 1 ⋅ 1 x 2 = 3 x 3 - x 3 + 1 x 2 = 2 x 3 + 1 x 2

Fazendo f ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:

2 x 3 + 1 x 2 = 0 → 2 x 3 + 1 = 0 → x 3 = - 1 2 → x = - 1 2 3 - 0,793

Agora vamos usar o Teste da Derivada Primeira:

Se f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

Se f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

E se f ' x tiver o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f não tem extremo relativo em x 0 .

Vamos então analisar as derivadas no intervalo - 1 ; - 0,5 que contém - 1 2 3 :

f ' - 1 = 8 ⋅ - 0,1 - 0,1 2 + 4 2 = - 1

f ' - 0,5 = 8 ⋅ 0,1 0,1 2 + 4 2 = 3

Pronto, temos então que f ' - 1 < 0 e f ' - 0,5 > 0 , então f tem um mínimo relativo em - 1 2 3 .

Passo 8

E por último vamos calcular f ' ' x :

f ' ' x = 6 x 2 + 0 x 2 - 2 x 3 + 1 2 x x 4 = 6 x 4 - 4 x 4 - 2 x x 4 = 2 x 3 - 2 x 3

Vamos então achar se possui algum ponto de inflexão e analisar os sinais:

2 x 3 - 2 x 3 = 0 → 2 x 3 - 2 = 0 → x 3 = 1 → x = 1

Agora vamos analisar o sinal de f ' ' x ao redor de x = 1 :

Como trocou de sinal em x = 1 , temos um ponto de inflexão, onde a concavidade muda de côncava para baixo para côncava para cima.

Passo 9

Pronto, agora com todas essas informações fica mais simples de esboçar o gráfico, vamos lá:

Resposta

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