Enunciado

23. O movimento de determinado pêndulo não amortecido é descrito pelas equações

d x d t = y ,           d y d t = - 4 sin ⁡ x

Se o pêndulo for colocado em movimento com um deslocamento angular A e sem velocidade inicial, então as condições iniciais serão x ( 0 )   =   A ,   y ( 0 )   =   0 .

(a) Considere A   =   0,25 e faça o gráfico de x em função de t. Do gráfico, estime a amplitude R e o período T do movimento resultante do pêndulo.

(b) Repita o item (a) para A   =   0,5 ;   1,0 ;   1,5   e   2,0 .

(c) De que modo a amplitude e o período do movimento do pêndulo dependem da posição inicial A ? Desenhe um gráfico para mostrar cada uma dessas relações. Você pode dizer alguma coisa sobre o valor limite do período quando A   →   0 ?

(d) Seja A   =   4 e faça o gráfico de x em função de t. Explique por que esse gráfico difere dos gráficos nos itens (a) e (b). Para que valor de A ocorre a mudança?

Passo 1

Bem, essa questão nos permite a ajuda de um computador, então vamos lá! Se aqui utilizarmos a ajuda do WOLFRAMALPHA, um site muito esperto que realiza muitos cálculos de graça pra gente, e digitarmos essa equação do jeitinho que está aqui na barrinha:

d x d t = y ,           d y d t = - 4 sin ⁡ x

Ele vai resolver esse sistema pra gente encontrando o seguinte campo de vetores:

Repare então que até x = 2 mais ou menos a gente pode aproximar o nosso sistema por EDO’s linear ao redor de x = 0 ,   y = 0 . Na letra D, entretanto, que nos pede ao redor de x = A = 4 , temos que encontrar outro ponto critico para aproximar que não será o ( 0 ,   0 ) .

Passo 2

Então a primeira coisa a se fazer nesse problema é aproximar a EDO não linear por uma EDO linear conveniente. Para isso...

Primeiro devemos encontrar os pontos crítico desse sistema de EDO:

d x d t = y ,       d y d t = - 4 sin ⁡ x       →

Ponto crítico acontece quando a derivada é 0 , ou seja:

0 = y ,       0 = sin ⁡ x

Um ponto que a gente já consegue ver que é ponto crítico é o x = 0 e y = 0 :

x = 0         e           y = 0  

Mas esse não é o único ponto crítico! Todos os pontos que tornam o sin ⁡ x = 0 , são pontos críticos. No caso...

0 ,   π n

Veja que o nosso ponto x = 0 e y = 0 encontrado, também faz parte desse conjunto, pasta tomar n = 0 :

0 ,   0 ∈ 0 ,   π n   |       n ∈ Z

Resumindo: temos vários pontos críticos, mas apenas três são relevantes:

0 ,   0   ,             0 ,   π                   e             ( 0 ,   2 π )

O ( 0 ,   0 ) é para a aproximação das condições pedidas no item A e B, e o ponto ( 0 ,   2 π ) será ponto que vamos usar para aproximar para a letra D já que pela figura dá para ver que x = 4 está mais próximo de x = 2 π do que de x = 0 , saca?

Passo 3

A primeira coisa para determinar um sistema linear próximo a um ponto crítico é pegar a o sistema que estamos trabalhando:

d x d t = y ,       d y d t = - 4 sin ⁡ x →

E chamar...

F x ,   y = y         e                 G x ,   y = - 4 sin ⁡ x    

Agora, dessas duas funções aí, F e G , devemos extrair a matriz Jacobiana dada por:

J x ,   y = F x F y G x G y

Calculando essas derivadas parciais então...

J x ,   y = 0 1 - 4 cos ⁡ x 0

Beleza! Agora temos que substituir os nossos pontos críticos. Como são dois, vou fazer isso em dois passos extras, ok?

Passo 4

Primero o do ponto 0 ,   0 , isto é:

J x ,   y = 0 1 - 4 cos ⁡ x 0   →

J 0 ,   0 = 0 1 - 4 cos ⁡ 0 0   →

Como o cosseno de 0 é 1 ...

J 0 ,   0 = 0 1 - 4 0

De acordo com a teoria, o sistema de EDO linear que aproxima a não linear nesse caso é:

x ' y ' = 0 1 - 4 0 x - 0 y - 0

x ' y ' = 0 1 - 4 0 x y

x ' é o d x / d t e y ' o d y / d t .

Para o ponto ( 0 ,   2 π ) no qual vamos aproximar a letra D:

J x ,   y = 0 1 - 4 cos ⁡ x 0     →

J 2 π ,   0 = 0 1 - 4 cos ⁡ 2 π 0   →

J 2 π ,   0 = 0 1 - 4 0   →

A aproximação linear que vamos fazer aqui será então...

x ' y ' = 0 1 - 4 0 x - 2 π y

Passo 5

L e t r a   A :

Como vimos, precisamos para a o item de A a C nos aproximar da EDO:

x ' y ' = 0 1 - 4 0 x y

Como o exercício nos permite agilizar a nossa vida com um computador, usando o Wolframalpha e resolvendo esse sistema linear, vamos obter...

x t = 1 2 c 2 sin ⁡ 2 t + c 1 cos ⁡ 2 t

y t = c 2 cos ⁡ 2 t - 2 c 1 sin ⁡ ( 2 t )

Substituindo as condições iniciais do nosso problema: x ( 0 )   =   0,25 ,   y ( 0 )   =   0 ...

x 0 = 1 2 c 2 sin ⁡ 0 + c 1 cos ⁡ 0     →

c 1 = 0,25 = 1 4

y 0 = c 2 cos ⁡ 0 - 2 c 1 sin ⁡ 0   →

c 2 = 0

Então...

x t = 1 4 cos ⁡ 2 t

Desenhando isso no plano x × t ...

A amplitude aproximada aqui é 1 / 4 e o período vem de ω = 2 ...

ω = 2 π T   →

T = π / 2

Passo 6

L e t r a   B :

Usando as mesmas equações:

x t = 1 2 c 2 sin ⁡ 2 t + c 1 cos ⁡ 2 t

y t = c 2 cos ⁡ 2 t - 2 c 1 sin ⁡ ( 2 t )

Só que trocando agora x 0 = A = 1 e y 0 = 0 ...

x 0 = 1 2 c 2 sin ⁡ 0 + c 1 cos ⁡ 0       →           c 1 = A = 1

y 0 = c 2 cos ⁡ 0 - 2 c 1 sin ⁡ 0       →             c 2 = 0

Ou seja, a solução agora será...

x t = cos ⁡ 2 t

A amplitude da nossa EDO não linear então que descreve o movimento do pêndulo será R = 1 e T = π / 2 :

Passo 7

Repare então que a única diferença e o que muda é a amplitude que dependerá de c 1 = A . No geral, podemos falar que:

x t = A cos ⁡ 2 t

Então se A = 0,5 ...

x t = 0,5 cos ⁡ 2 t

Se A = 1,5 ...

x t = 1,5 cos ⁡ 2 t

E se A = 2 ...

x t = 2 cos ⁡ 2 t

A as amplitudes então será: 0,5 ;   1,5   e   2 respectivamente. O período será o mesmo para todas elas e é de π / 2 . A curva vai ser a mesma senoidal só que com amplitudes diferentes, saca?

Passo 8

L e t r a   C :

Como vimos, o período depende diretamente do valor de A :

R = A

De modo que se A varia, R varia linearmente:

Podemos dizer que se fizermos A → 0 , teremos uma amplitude de 0 (uma linha):

Passo 9

L e t r a   D :

Como vimos, o A = 4 é o único nesse caso que não podemos aproximar pela solução daquela EDO linear que encontramos no passo 4. Temos então que nos aproximar pela solução dessa EDO aqui:

x ' y ' = 0 1 - 4 0 x - 2 π y

Jogando então no WOLFRAMALPHA, obteremos:

x t = 1 2 c 2 sin ⁡ 2 t + c 1 cos ⁡ 2 t + 2 π

y t = c 2 cos ⁡ 2 t - 2 c 1 sin ⁡ 2 t

Substituindo a condição inicial indicada nesse item: x 0 = A = 4 e y 0 = 0 ...

y 0 = c 2 = 0

E...

c 1 + 2 π = x 0 = 4

Ou seja...

c 1 = 4 - 2 π

E a solução então será...

x t = 4 - 2 π cos ⁡ 2 t + 2 π

A amplitude dessa onda agora será de R = 4 - 2 π , mas o período continua o mesmo T = π / 2 :

Ele se difere dos outros, simplesmente por causa de A = 4 ser um ponto que já está mais próximo de 2 π , o qual vimos ser um ponto crítico para a EDO não linear.

Se lembra desse ponto crítico aqui: 0 ,   π ?

Então, esse ponto é o que separa as duas aproximações! Qualquer x = A < π deve ser aproximado pela primeira e x = A > π deve ser aproximado por essa segunda, saca?

Resposta

Letra A: R = 0,25 e T = π / 2 . Gráfico de uma cossenoide.

Letra B: R = 0,5 ;   1,0 ;   1,5       e   2 e T = π / 2 para todas elas. Gráfico de uma cossenoide.

Letra C: R = x 0 = A . Relação linear. A = 0 é uma reta no gráfico x t = 0 .

Letra D: x t = 4 - 2 π cos ⁡ 2 t + 2 π

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Determine o tipo e as propriedades de estabilidade de cada ponto crítico. Dê atenção especial ao que acontece quando α passa por um ponto de bifurcação.
Esboce as retas de crescimento nulo no primeiro quadrante, como na Figura 9.4.5. Para intervalos diferentes de α, seu esboço pode se assemelhar a partes diferentes da Figura 9.4.5.
Encontre a matriz jacobiana J e calcule-a em cada um dos pontos críticos.
Encontre a matriz jacobiana J e calcule-a em cada um dos pontos críticos.
Determine o tipo e as propriedades de estabilidade de cada ponto crítico. Dê atenção especial ao que acontece quando α passa por um ponto de bifurcação.