Enunciado

Encontre a matriz jacobiana J e calcule-a em cada um dos pontos críticos.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos os valores críticos das equações e achar o equilíbrio. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar quais os pontos críticos, ou seja, igualar as derivadas a zero.

d x d t = 0

d y d t = 0

Oque nos leva a:

x 1 - x - y = 0

y α - y - 2 α - 1 x = 0

Através das relações, temos que o os pontos serão:

Com isso, podemos ver que:

α = 0

α = 1

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

J = 1 - 2 x - y - x - 2 α + 1 y α - 2 y - ( 2 α - 1 ) x

J 0,0 =   1 0 0 α

J 0 , α =   1 - α 0 ( - 2 α + 1 ) α - α

J 1,0 =   - 1 - 1 0 - α + 1

J 0,5   ,   0,5   =   - 0,5 - 0,5 - α + 0,5 - 0,5

Resposta

J = 1 - 2 x - y - x - 2 α + 1 y α - 2 y - ( 2 α - 1 ) x

J 0,0 =   1 0 0 α

J 0 , α =   1 - α 0 ( - 2 α + 1 ) α - α

J 1,0 =   - 1 - 1 0 - α + 1

J 0,5   ,   0,5   =   - 0,5 - 0,5 - α + 0,5 - 0,5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Neste problema, vamos deduzir uma fórmula para o período natural de um pêndulo não linear não amortecido [ c=0 na Eq. (10) da Seção 9.2]. Suponha que a massa é puxada por um ângulo positivo α e depois
30. Uma generalização da equação do pêndulo amortecido discutida no texto, ou de um sistema mola-massa amortecido, é a equação de Liénard d 2 x d t 2 + c x d x d t + g x = 0 Se c ( x ) for uma constan
23. O movimento de determinado pêndulo não amortecido é descrito pelas equações d x d t = y ,d y d t = - 4 sin ⁡ x Se o pêndulo for colocado em movimento com um deslocamento angular A e sem velocidade
Considere o sistema (2) no texto e suponha que σ1σ2 – α1α2 = 0.Encontre todos os pontos críticos do sistema. Observe que o resultado depende se σ1∊2 –α2∊1 é nulo ou não.
Considere o sistema (2) no texto e suponha que σ1σ2 – α1α2 = 0.Se σ1∊2 – α2∊10, classifique cada ponto crítico e determine se é assintoticamente estável, estável ou instável. Note que o Problema 5 é d