Enunciado

Encontre a matriz jacobiana J e calcule-a em cada um dos pontos críticos.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos os valores críticos das equações e achar o equilíbrio. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar quais os pontos críticos, ou seja, igualar as derivadas a zero.

d x d t = 0

d y d t = 0

Oque nos leva a:

x 1 - x - y = 0

y 0,75 - α y - 0,5 x = 0

Através das relações, temos que o os pontos serão:

Com isso, podemos ver que:

α = 0,75

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

J = 1 - 2 x - y - x - 0,5 y 0,75 - 2 α y - 0,5 x

J 0,0 =   1 0 0 0,75

J 0 , 0,75 α =   1 - 0,75 α 0 - 0 , 37 5 α - 0,75

J 1,0 =   - 1 - 1 0 0,25

J 4 α - 3 4 α - 2   ,   1 4 α - 2 =   - 4 α + 3 4 α - 2 - 4 α - 3 4 α - 2 - 0,5 4 α - 2 - α 4 α - 2

Resposta

J = 1 - 2 x - y - x - 0,5 y 0,75 - 2 α y - 0,5 x

J 0,0 =   1 0 0 0,75

J 0 , 0,75 α =   1 - 0,75 α 0 - 0,375 α - 0,75

J 1,0 =   - 1 - 1 0 0,25

J 4 α - 3 4 α - 2   ,   1 4 α - 2 =   - 4 α + 3 4 α - 2 - 4 α - 3 4 α - 2 - 0,5 4 α - 2 - α 4 α - 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma generalização da equação do pêndulo amortecido discutida no texto, ou de um sistema massa-mola, é a equação de Liénard. d 2 x d t 2 + c x d x d t + g x = 0 Se c(x) for contante e g(x)=kx, então es
Neste problema, vamos mostrar como pequenas mudanças nos coeficientes de um sistema de equações lineares podem afetar um ponto crítico que é um centro. Considere a sistema x ' = 0 1 - 1 0 x Mostre que
O Teorema 9.3.2 não da informação sobre a estabilidade de um ponto crítico de um sistema quase linear, se esse ponto é um centro do sistema linear correspondente. Que isso tem que acontecer é ilustrad
Cada um dos problemas 1 a 6 pode ser interpretado como descrevendo a interação de duas espécies com população x e y. E m cada um desses problemas, faça o seguinte:a) Desenhe o campo de direções e desc
Neste problema, vamos mostrar como pequenas mudanças nos coeficientes de um sistema de equações lineares podem afetar um ponto crítico que é um centro. Considere o sistema x ' = 0 1 - 1 0 x Mostre que