Enunciado

23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

31. a n = n 2 n 3 + 4 n

Passo 1

Fala Aí, tudo beleza? Nessa questão precisamos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge, certo?

Para descobrirmos se a sequência em questão converge ou não, devemos aplicar o limite com n tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:

Se lim n → ∞ ⁡ a n existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge.

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Passo 2

Sendo assim, aplicando o limite na sequência do enunciado, teremos:

lim n → ∞ ⁡ n 2 n 3 + 4 n

Não sei se você sabe, mas quando lidamos com limites envolvendo termos que crescem sem limites, é útil pra gente identificarmos a parte dominante da expressão. Isso costuma nos ajudar na avaliação do limite.

Então, nessa sequência, se dividirmos todos os termos por n ³ , estaremos “normalizando” a expressão, ficando mais fácil de analisar.

Isso porque n ³ ​ é a parte que cresce mais rápido conforme n   aumenta, e quando dividimos todos os termos pela mesma quantidade, estamos reduzindo a expressão para uma forma mais simples e mais fácil de entender. Sacou??

Passo 3

Assim, dividindo todos os termos por n ³ , teremos:

lim n → ∞ ⁡ n 2 n 3 + 4 n = lim n → ∞ ⁡ n 2 n 3 n 3 + 4 n n 3

Simplificando, teremos

lim n → ∞ ⁡ n 2 n 3 + 4 n = lim n → ∞ ⁡ n 1 + 4 n 2

Passo 4

Agora vamos analisar o numerador e o denominador.

Para o numerador temos que l i m n → ∞ n = ∞ .

Para o denominador temos que l i m n → ∞ 1 + 4 n 2 = 1 .

Sendo assim, a conclusão é de que a sequência diverge, uma vez que não é um valor determinado.

Resposta

a n = n 2 n 3 + 4 n   é   d i v e r g e n t e

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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a r c t g( 2 n )
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = cos ⁡ 2 n
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = n ! 2 n
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