Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a n = ln ⁡ n 2 n

Passo 1

Beleza, galera? Vamos lá:

Pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela.

Analisando essa sequência vemos que tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito quando n → ∞ , nos deixando assim com uma indeterminação do tipo ∞ ∞ .

Nesse tipo de indeterminação podemos usar uma técnica para sair dela chamada regra de l’Hopital.

Então bora lá!

Passo 2

Relembrando a Regra de l’Hopital, ela dizia que:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f x ' g x '

Em outras palavras, derivamos separadamente a expressão do numerador e do denominador e conseguimos determinar esse limite.

Lembrando que a Regra de l’Hopital só vale para as indeterminações ∞ ∞   e 0 0 .

Passo 3

Para derivar ln ⁡ n 2 vamos precisar usar a Regra da Cadeia:

f g x = f ' g x . g ' ( x )

A Regra da Cadeia é como um truque que usamos quando temos uma função dentro de outra função. Assim nós primeiros derivamos a função “de fora” e depois multiplicamos esse resultado pela derivada da função de dentro.

Fazendo essas derivações, no nosso caso então, teremos:

l i m n → ∞   ln ⁡ n 2 n = l i m n → ∞   2 ( ln ⁡ n ) . 1 n 1

Rearranjando esse limite, temos:

l i m n → ∞   2 ( ln ⁡ n ) . 1 n 1 = l i m n → ∞   2 ln ⁡ n n

Podemos agora aplicar mais uma vez l’Hopital, para simplificar ainda mais:

l i m n → ∞   2 ln ⁡ n n = l i m n → ∞   2 1 n 1

Rearranjando os temos e finalmente resolvendo o limite, temos:

l i m n → ∞   2 n = 0

No limite acima, usamos L’Hôpital duas vezes, e descobrimos que a sequência converge para 0 , não é mesmo?

Resposta

Sequência convergente.

l i m n → ∞   a n = 0

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