Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a n = 2 n - 1 ! 2 n + 1 !

Passo 1

E aí, pessoal? Tudo jóia? Vamos para mais uma análise de divergência de sequências. Lembrando que para a gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela.

Nesse primeiro passo, vamos entender qual estratégia podemos utilizar para “atacar” essa questão. Como você pode notar temos no denominador e no numerador termos fatoriais. Nossa abordagem será expandir o denominador, o que nos deixará com um termo igual ao numerador e poderemos dividir um pelo outro, eliminando os termos fatoriais e tornando mais fácil o cálculo do limite.

Vamos começar com essa simplificação no passo 2.

Passo 2

A expressão genérica para fatorial é:

n !   =   n   .   n   –   1 .   n   –   2 . ⋯ . 2.1

Utilizando dessa lógica, vamos reescrever o fatorial do denominador como:

2 n + 1 ! = 2 n + 1 . 2 n . 2 n - 1 !

Assim temos:

l i m n → ∞   2 n - 1 ! 2 n + 1 ! = l i m n → ∞ 2 n - 1 ! 2 n + 1 2 n 2 n - 1 !

O truque então é abrir o termo fatorial até que o apareça o termo que é igual ao do numerador. Podemos assim simplificar:

l i m n → ∞ 2 n - 1 ! 2 n + 1 2 n 2 n - 1 ! = l i m n → ∞ 1 2 n ( 2 n + 1 )

Passo 3

Agora que já manipulamos o limite, basta resolvê-lo. Sabemos que quando n → ∞   o denominador se torna um número tão grande que quando divide o número 1 do numerador, resulta num número muito pequeno, se aproximando cada vez mais de 0 .

l i m n → ∞ 1 2 n ( 2 n + 1 ) = 0

Logo, a sequência converge para 0 .

Resposta

Sequência convergente

l i m n → ∞   a n = 0

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