Enunciado

33-36 Encontre os extremos relativos usando os testes da derivada primeira e da derivada segunda.

34. f x = x 4 - 12 x 3

Passo 1

Vamos lembrar que, para usar o teste da segunda derivada, a primeira coisa a fazer é encontrar os pontos críticos da nossa função. E sabemos que para x 0 ser ponto crítico deve satisfazer, pelo menos, uma das seguintes condições:

- f ' x 0 = 0

-   f não é diferenciável em x 0 .

Por se tratar de uma função polinomial, ela é diferenciável para x.

Passo 2

Agora, vamos derivar a nossa função e igualá-la a zero. Assim, vamos ter

4 x 3 - 36 x 2 = 0

x 4 x 2 - 36 x = 0

x = 0

ou

x 2 - 9 x = 0

x = 0   o u   x = 9

Portanto, os nossos pontos críticos são 0 e 9.

Passo 3

Bem, o próximo passo é derivar mais vez a nossa função.

Daí, vamos obter

f " ( x ) = 12 x 2 - 72 x

Agora simmmm!!!! Estamos prontos para usar o teste da segunda derivada.

Passo 4

Olha só, vamos substituir os pontos críticos que encontramos em f " ( x ) .

f " ( 0 ) = 4.0 - 36.0 = 0

Logo, o teste é inconclusivo. Mas nós podemos usar o teste da primeira derivada para determinar se esse ponto é máximo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.

Nós precisamos saber como f ' x se comporta antes e depois do zero. Para isso, vamos testar dois pontos, um maior que zero, outro menor que zero.

Para x = - 1 , teremos

f ' - 1 = 4 ( - 1 ) 3 - 36 ( - 1 ) 2 = - 38 < 0

Para x = 1 , vamos ter

f ' 1 = 4 ( 1 ) 3 - 36 ( 1 ) 2 = - 32 < 0

Como f ' x tem o mesmo sinal antes e depois do zero, concluímos que f não tem extremo relativo nesse ponto.

Bem, agora precisamos aplicar o teste da segunda derivada em x = 9

f " ( x ) = 12 . ( 9 ) 2 - 72 . ( 9 ) = 324 > 0

Assim, vemos que f tem um mínimo relativo em x = 9 . Substituindo na f , obtemos o ponto de coordenada

( 9 , - 2187 )

Resposta

( 9 , - 2187 )

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Em cada parte, encontre todos os pontos críticos e use o teste da derivada primera para classifica-los em máximos ou mínimos relativos, ou nenhum dos dois. (c) f x = 3 x - x - 1 3 / 2
Em cada parte, encontre todos os pontos críticos e use o teste da derivada primera para classifica-los em máximos ou mínimos relativos, ou nenhum dos dois.(b) f x = 2 s e n x - cos ⁡ 2 x , 0 ≤ x ≤ 2 π
Em cada parte, encontre todos os pontos críticos e uso e teste da derivada segunda (quando possível) para classifica-los em máximos ou mínimos relativos, ou em nenhum dos dois. f x = x 2 + 8 x
Use qualquer método para encontrar os extremos relativos da função f dada: f x = 2 x + x 2 / 3
Em cada parte, encontre todos os pontos críticos e use o teste da derivada primera para classifica-los em máximos ou mínimos relativos, ou nenhum dos dois.(a) f x = x 1 3 x - 7 2