Enunciado

25-32 Use a derivada dada para encontrar todos os pontos críticos de f e, em cada um deles, determine se ocorre um máximo relativo, um mínimo relativo ou nenhum desses. Suponha, em cada caso, que f seja contínua em toda parte.

32. f ' x =   e 2 x - 5 e x + 6

Passo 1

Galera, vamos começar lembrando quais são as condições necessárias para x 0 ser ponto crítico da nossa função:

- f ' x 0 = 0

-   f não é diferenciável em x 0 .

Note que a nossa função não possui nenhuma fração, raiz..... nenhum problema de definição. Isso quer dizer que ela é diferenciável para todo x .

Passo 2

Agora, o que nos resta é igualar a nossa função a zero. Assim, vamos ter

  e 2 x - 5 e x + 6 = 0

Carambaaaa e agora ???? Olha essa equação aí em cima. O desespero deve estar batendo, eu sei. Mas vem comigo que vai dar certo!!!

Você vai perceber que é só fazer uma substituição simples. Olha só:

Vamos definir da seguinte forma:

e x = y   ( 1 )

Assim, teremos

( e x ) 2 - 5 e x + 6 = 0

y 2 - 5 y + 6 = 0

Agora, é só resolver uma eq. de segundo simples, sacou?!

y - 3 y - 2 = 0

y = 3   o u   y = 2

Vamos voltar na eq.(1) e substituir os valores encontrados:

e x = 3

x = l n 3

e x = 2

x = l n 2

Passo 3

Nós já achamos o nosso ponto crítico. O próximo passo é aplicar o teste da primeira derivada. Para isso, a gente vai precisar estudar o sinal da nossa função antes e depois dos nossos pontos críticos.

Mas pera aí.... Você deve estar pensando: ‘Eu não tenho ideia de como essa função se comporta, como eu vou saber onde ela é positiva e negativa?’

Veja bem, nós não precisamos saber exatamente como a função se comporta. É só a gente escolher um valor para x antes e depois de cada ponto crítico, substituir na nossa função e ver se ela fica positiva ou negativa.Ficou difícil de entender?? Eu vou facilitar.

l n 2 < l n 3

Eu vou começar escolhendo um valor menor que l n 2 . Que tal zero??? É sempre uma boa opção.

f ' 0 = e 0 - 5 e 0 + 6 = 2

2 é maior que 0. Então a nossa função é positiva antes do l n 2 .

Agora, eu vou escolher um número maior que l n 2 e menor que l n 3 . Eu vou escolher o 1.

f ' 1 = e 2 - 5 e + 6

Isso é, com certeza,menor que 0. Nós sabemos que e é aproximadamente 2,7. Então

f ' 1 = ( 2,7 ) 2 - 5 2,7 + 6 = - 0,21

A nossa função é negativa entre l n 2 e l n 3 .

Eu vou escolher o número 2, que é maior que l n 3 .

f ' 2 = e 4 - 5 e 2 + 6 > 0

A nossa função é positiva depois de l n 3 .

Passo 4

A partir das informações obtidas no passo anterior, vemos que l n 2 é máximo relativo e l n 3 é mínimo relativo.

Resposta

l n 2 : máximo relativo;

l n 3 : mínimo relativo.

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