Enunciado

26. O seguinte teorema é uma generalização do Teorema do valor médio para integrais: se f e g forem contínuas no intervalo fechado [ a , b ] e g x > 0 para todo x no intervalo aberto ( a , b ) , então existirá um número χ em [ a , b ] tal que

∫ a b f x g x d x = f ( χ ) ∫ a b g x d x

Prove esse teorema por um método semelhante ao do Teorema 5.7.1: obtenha a desigualdade m ≤ f x ≤ M e então conclua que m g x ≤ f x g x ≤ M g ( x ) ; aplique o Teorema 5.6.8 e prossiga como na demonstração do Teorema 5.7.1.

Passo 1

Vamos olhar os teoremas envolvidos e fazer conforme a sugestão pra provar o teorema.

Passo 2

Seguindo a sugestão vamos chamar m o valor mínimo para f e M o valor máximo.

f x m ≤ f x ≤ f ( x M )

m ≤ f x ≤ M

Multiplicando tudo por g x

m g x ≤ f x g x ≤ M g ( x )

Certinho?

Passo 3

Do teorema 5.6.9, temos que:

m a - b ≤ ∫ a b f x d x ≤ M ( b - a )

Jogando pro nosso caso, o termo b - a será ∫ a b g x d x (o “tamanho” do intervalo é a própria integral de g ):

m g ( x ) ∫ a b g x d x ≤ ∫ a b f x g x d x ≤ M g ( x ) ∫ a b g x d x

Dividindo todo mundo por ∫ a b g x d x :

m g ( x ) ≤ ∫ a b f x g x d x ∫ a b g x d x ≤ M g ( x )

Passo 4

Dessa desigualdade e do teorema do valor médio, existe χ em [ a , b ] tal que

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( a - b )

No nosso caso:

∫ a b f x g x d x = f ( χ ) ∫ a b g x d x

Prontinho

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre o Teorema do Valor Médio para Integrais usando o Teorema do Valor Médio para derivadas (veja a Seção 4.2) para a função F x = ∫ a x f ( t ) d t .
A velocidade v do sangue que circula em uma veia com raio R e comprimento l a uma distância r do eixo central é v r = P 4 η l R 2 - r 2 em que P é a diferença de pressão entre as extremidades da veia
Uma xícara de café tem temperatura de 95º C º e leva 30 minutos para esfriar até 61º C º em uma sala com temperatura de 20º C º . Use a Lei de Newton do Resfriamento (Seção 3.8) para mostrar que a tem
Se um corpo em queda livre parte do repouso, então o seu deslocamento é dado por s = 1 2 g t ² ². Seja v t a velocidade após um tempo T . Mostre que, se calcularmos a média das velocidades em relação
Se f med [ a , b ] denota o valor médio de f no intervalo [ a , b ] e acb , mostre que f med a , b = c - a b - a f med a , c + b - c b - a f med [ c , b ]