Enunciado

Uma xícara de café tem temperatura de 95   º C e leva 30 minutos para esfriar até 61   º C em uma sala com temperatura de 20   º C . Use a Lei de Newton do Resfriamento (Seção 3.8) para mostrar que a temperatura do café depois de   t minutos é

T t = 20 + 75 e - k t

onde k ≈ 0,02 .

Qual a temperatura média do café durante a primeira meia hora?

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui nos é pedido para usarmos a Le de Resfriamento de Newton.

A equação dessa lei é a seguinte:

d T d t = - k T - T a

Onde T   é a temperatura do objeto e T a do ambiente.

Montando nossa equação com os dados:

d T d t = - k T t - 20

Passo 2

Integrando dos dois lados, podemos encontrar T  

∫     d T T t - 20 = ∫     - k d t

ln ⁡ T t - 20 = - k t + C

Resolvendo o logaritmo natural

T t - 20 = C e - k t

T t - 20 = e - k t + C

T t - 20 = e - k t e C

Como e C é constante, podemos representá-la como outra constante qualquer.

T t - 20 = e - k t C

T t = e - k t C + 20

Agora iremos substituir os valores que temos, que nos foi dado no enunciado para encontrarmos o valor de C.

T 0 = C + 20

95 = C + 20  

75 = C  

Então:

T t = 20 + 75 e - 0.02 t

Passo 3

Aqui iremos de fato utilizar o conhecimento dessa secção, onde ela nos mostra que o valor médio de uma integral é dado por:

f c = f m e d = 1 b - a ∫ a b f x d x

T m é d i o = 1 30 - 0 ∫ 0 30 T t d t = 1 30 - 0 ∫ 0 30 20 + 75 e - t 50 d t = 1 30 20 t - 75 k e - k t 0 30 =

1 30 600 - 75 k e - 30 k - 0 - 75 k = 1 30 600 - 75 k 41 75 + 75 k = 1 30 600 + 34 k =

20 + 34 30 k ≈ 76.3 ℃

Resposta

T t = 20 + 75 e - k t , e k = - c ≈ 0.02 .

  76.3 ℃

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o valor médio da função no intervalo especificado. g x = 3 ⋅ cos ⁡ x , - π 2 , - π 2
Encontre o valor médio da função no intervalo especificado. f x = 3 x 2 + 8 x , - 1,2
Encontre o valor médio da função no intervalo especificado. f x = x , 0,4
Encontre o valor médio da função no intervalo dado. f t = t e - t ² ,[ 0,5 ] ²
Uma barra horizontal está localizada sobre o eixo dos x , como mostra a Figura 8.105.Se a densidade linear num ponto qualquer da barra é proporcional à distância desse ponto até a origem, determinar o