26.Encontrar ∆y - dy das funções dadas.

a) y = 3x^2 - x + 1 b) y = 2 \* raiz(x) c) y = (x + 1) / (2x - 1)

Passo 1

Inicialmente vamos lembrar as fórmulas de ∆ y e d y .

∆ y = f x + ∆ x - f ( x )

d y = f ´ ( x ) ∆ x

Passo 2

Vamos para a letra a).

f x + ∆ x = 3 x + ∆ x 2 - x + ∆ x + 1

f x + ∆ x = 3 x 2 + 2 x ∆ x + ∆ x 2 - x + ∆ x + 1

f x + ∆ x = 3 x 2 + 6 x ∆ x + ∆ x 2 - x + ∆ x + 1

f x = 3 x 2 - x + 1

∆ y = f x + ∆ x - f x = 3 x 2 + 6 x ∆ x + 3 ∆ x 2 - x + ∆ x + 1 - 3 x 2 - x + 1

∆ y = 6 x ∆ x + 3 ∆ x 2 + ∆ x

Cálculo de d y .

d y = 3 x 2 - x + 1 ' ∆ x

d y = 6 x - 1 ∆ x = 6 x ∆ x - ∆ x

Fazendo ∆ y - d y :

∆ y - d y = 6 x ∆ x + 3 ∆ x 2 + ∆ x - 6 x ∆ x - ∆ x

∆ y - d y = 6 x ��� x + 3 ∆ x 2 + ∆ x - 6 x ∆ x + ∆ x

∆ y - d y = 3 ∆ x 2

Passo 3

Vamos para a letra b).

f x + ∆ x = 2 x + ∆ x

f x = 2 x

∆ y = f x + ∆ x - f x = 2 x + ∆ x - 2 x

Daremos uma ajeitada nessa expressão, multiplicaremos e dividiremos por x + ∆ x + x .

∆ y = 2 x + ∆ x - x 2 x + ∆ x - x x + ∆ x + x x + ∆ x + x = 2 x + ∆ x - x x + ∆ x + x = 2 ∆ x x + ∆ x + x

Cálculo de d y .

d y = x + 1 2 x - 1 ' ∆ x

A derivada de 2 x é igual a :

2 x ' = 2 1 2 x = 1 x

Voltando para reescrever na expressão de d y .

d y = 1 x ∆ x = ∆ x x

Voltando para reescrever na expressão de d y .

d y = 1 x ∆ x = ∆ x x

Fazendo ∆ y - d y :

∆ y - d y = 2 ∆ x x + ∆ x + x - ∆ x x

Passo 4

E para finalizar, vamos para a letra c ).

f x + ∆ x = x + ∆ x + 1 2 x + ∆ x - 1 = x + ∆ x + 1 2 x + 2 ∆ x - 1

f x = x + 1 2 x - 1

∆ y = f x + ∆ x - f x = x + ∆ x + 1 2 x + 2 ∆ x - 1 - x + 1 2 x - 1

Daremos uma ajeitada nessa expressão

∆ y = x + ∆ x + 1 2 x - 1 - 2 x + 2 ∆ x - 1 x + 1 2 x + 2 ∆ x - 1 2 x - 1

= 2 x 2 + 2 x ∆ x + 2 x - x - ∆ x - 1 - 2 x 2 + 2 x ∆ x - x + 2 x + 2 ∆ x - 1 2 x + 2 ∆ x - 1 2 x - 1

= 2 x 2 + 2 x ∆ x + x - ∆ x - 1 - 2 x 2 - 2 x ∆ x - x - 2 ∆ x + 1 2 x + 2 ∆ x - 1 2 x - 1 = - 3 ∆ x 2 x + 2 ∆ x - 1 2 x - 1

Cálculo de d y .

d y = x + 1 2 x - 1 ' ∆ x

A derivada de x + 1 2 x - 1 é igual a :

x + 1 2 x - 1 ' = 1 2 x - 1 - 2 x + 1 2 x - 1 2 = 2 x - 1 - 2 x - 2 2 x - 1 2 = - 3 2 x - 1 2

Voltando para reescrever na expressão de d y .

d y = - 3 2 x - 1 2 ∆ x = - 3 ∆ x 2 x - 1 2

Fazendo ∆ y - d y :

∆ y - d y = - 3 ∆ x 2 x + 2 ∆ x - 1 2 x - 1 - - 3 ∆ x 2 x - 1 2

= - 3 ∆ x 2 x + 2 ��� x - 1 2 x - 1 + 3 ∆ x 2 x - 1 2

Resposta

a) 3 ∆ x 2

b)

2 ∆ x x + ∆ x + x - ∆ x x

c)

- 3 ∆ x 2 x + 2 ∆ x - 1 2 x - 1 + 3 ∆ x 2 x - 1 2

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