Enunciado

27. Um automóvel aproxima-se de um cruzamento a uma velocidade de 30 m / s . Quando o automóvel está a 120 m do cruzamento, um caminhão a uma velocidade 40 m / s   atravessa o cruzamento. O automóvel e o caminhão estão em ruas que se cruzam em um ângulo reto. Com que velocidade o automóvel e o caminhão estarão se asfastando um do outro, 2 s após o caminhão ter passado pelo cruzamento?

Passo 1

Beleza galera, a melhor forma de começarmos essa questão é imaginar a situação. Os carros tão num cruzamento como esse:

Uma boa forma da gente modelar isso é pensar num triângulo. Afinal, se os automóveis estão distantes em z unidades e o cruzamento faz ângulos retos, podemos estabelecer o triângulo retângulo abaixo:

E conforme os carros se movimento, a distância z deles muda! Beleza, próximo passo agora

Passo 2

Agora que entendemos a situação e nomeamos as variáveis, vamos voltar ao enunciado. Ele diz que o automóvel se aproxima do cruzamento a 30 m / s . Como quem está se aproximando do cruzamento é o carro laranja da figura, temos que:

d x d t = 30

Afinal galera, d x d t expressa a taxa de variação da posição x com o tempo, que nada mais é que a velocidade. Show, resta agora a outra informação: “um caminhão a uma velocidade 40 m / s   atravessa o cruzamento”. Na figura então, o caminhão está em azul e ele já passou o cruzamento, logo:

d y d t = 40

Dessas taxas a gente consegue, se mexer um pouquinho, chegar em expressões pra posição em função do tempo. Saca só:

d x = 30   d t

∫ d x = ∫ 30   d t

x = 30 t + C 1

Seguindo essa lógica:

y = 40 t + C 2

Essas constantes atrapalham a gente, então vamos achar valores pra elas. Estabelecendo as coordenadas:

Onde A é o automóvel laranja, B é o automóvel azul e o ponto C é o centro do cruzamento, vamso ter que:

x 0 = 30 ∙ 0 + C 1 = 0 → C 1 = 0

y 0 = 40 ∙ 0 + C 2 = 0 → C 2 = 0

E logo:

x t = 30 t

y t = 40 t

Guarda essas fórmulas que vamos acabar precisando delas

Passo 3

Beleza, é agora que vamos falar de taxas mesmo. Pra começar, como temos um triângulo retângulo, vale:

z 2 = x 2 + y 2

Show. Vamos derivar implicitamente em relação ao tempo então, já que taxas são derivadas! Pra isso, usamos a regra da cadeia e obtemos:

d z 2 d t = d x 2 + y 2 d t

2 ∙ z ∙ d z d t = d x 2 d t + d y 2 d t

2 ∙ z ∙ d z d t = 2 ∙ x ∙ d x d t + 2 ∙ y ∙ d y d t

z ∙ d z d t = x ∙ d x d t + y ∙ d y d t

De Pitágoras de novo, fazemos:

x 2 + y 2 ∙ d z d t = x ∙ d x d t + y ∙ d y d t

d z d t = x ∙ d x d t + y ∙ d y d t x 2 + y 2

Opa, achamos uma expressão para a taxa de variação da distância entre os automóveis! Pra um instante específico qualquer t o , daí, tiramos a expressão:

d z d t t = t 0 = x t o ∙ d x d t t = t 0 + y t o ∙ d y d t t = t 0 x t o 2 + y t o 2

Passo 4

Chegamos no nosso último passo! Porque? Porque bem, dessa vez, sabemos o instante t 0 no qual queremos calcular a taxa! O enunciado diz: “[...] 2 s após o caminhão ter passado pelo cruzamento?”. Logo, t 0 = 2 e teremos:

d z d t t = 2 = x 2 ∙ d x d t t = 2 + y 2 ∙ d y d t t = 2 x 2 2 + y 2 2

As taxas são constantes, não variando com o tempo, e já vimos elas:

d x d t = 30

d y d t = 40

Logo:

d z d t t = 2 = 30   ∙ x 2 + 40 ∙ y 2 x 2 2 + y 2 2

Agora, x 2   ;   y 2 a gente tira do final do passo 2:

x 2 = 30 ∙ 2 = 60

y 2 = 40 ∙ 2 = 80

Ficando com:

d z d t t = 2 = 30   ∙ 60 + 40 ∙ 80 60 2 + 80 2

d z d t t = 2 = 1800 + 3200 3600 + 6400

d z d t t = 2 = 5000 10000

d z d t t = 2 = 5000 100

d z d t t = 2 = 50   m / s

Resposta

d z d t t = 2 = 50   m / s

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