Enunciado

Uma certa quantidade de óleo está sendo despejado num tanque com a forma cônica invertida, a uma taxa de 3 π   m 3 / m i n . Se o tanque tiver um raio de 2,5   m no topo e 10   m de profundidade, com que velocidade a profundidade do óleo estará quando ela estiver com 8   m de profundidade?

Passo 1

Taxas relacionadas pode parecer um pouco complicado, e as vezes é, pra ser sincero kkkk ;-; mas existe um passo a passo que pode nos ajudar muito pra resolver, confere ai:

1): ler bem o enunciado e anotar a informações necessárias.

2): fazer um lindo desenho para ilustrar o problema:

3): encontrar uma relação entre as variáveis, aqui vale tudo trigonometria, geometria, Pitágoras, Tales, lei dos senos, cossenos etc.

4): colocar toda a função em termos de uma única variável, aqui se aplica o mesmo que que no passo anterior, pode soltar a imaginação e a engenhosidade.

5): derivar a, manipular, substituir e zas e zas, aí você encontra a resposta.

Parece aqueles episódios do pateta tentando aprender alguma coisa kkk

Passo 2

Aqui estamos lidando com um cone com as seguintes dimensões, o raio vale 2,5   m , a altura é 10 e o volume aumenta em 3 π   m 3 / m i n . O que queremos é, taxa de variação da altura quando a água estiver com 8 m de profundidade.

Anotando teremos:

R = 2,5   (Raio do tanque)

  H = 10   (Altura do tanque)

d V d t = 3 π   (Taxa de aumento do volume)

d h d t ​ h = 8 = ?   (Queremos a tacha de variação da altura quando h=8(altura da óleo))

Passo 3

Agora é hora do desenho lindo :3

r (raio da superfície da água) é uma variável assim como h (altura da água), que vão depender do tempo, pois o volume da água aumenta com o passar do tempo.

Passo 4

Uma relação muito interessante para se usar aqui é a do volume do cone, veja como todas nossas variáveis aparecem nela.

V = π ⋅ r 2 ⋅ h 3

Passo 5

Agora é hora de relacionar as variáveis, para que possamos derivar, para isso nós podemos simplificar a figura e pensar nela apenas vista de frente.

Lembrando dos tempos de escolinha podemos perceber que estes dois triângulos são semelhantes, pois o menor e resultado do corte do primeiro por uma reta paralela a um dos lados, com isso podemos montar a relação.

r h = 2,5 10 = 1 4 ⇒ 4 r = h

Nesse caso é interessante colocar a r em função de h , pois estamos interessados na variação da altura, além disso o valor de h já foi informado.

r = h 4

Passo 6

Agora é hora de juntar as informações, derivar implicitamente, manipularmos a equação, substituir valores e zas e zas

V = π r 2 ⋅ h 3 = π h 4 2 ⋅ h 3 = π h 3 48 ⇒ V = π h 3 48

Derivando implicitamente em relação a t

d V d t = d d t π h 3 48 = 3 π h 2 ⋅ d h d t 3 ⋅ 16 = π h 2 16 ⋅ d h d t

Substituindo os valores:

⇒ d V d t = π h 2 16 ⋅ d h d t ⇒ 3 π = π 8 2 4 ⋅ d h d t ⇒ d h d t ⋅ 16 π = 3 π ⇒ d h d t = 3 π 16 π = 3 16

Como as unidades estavam em metros e minutos a resposta será dada em metros e minutos

Ufaaa, pronto terminou, espero ter ajudado :3

Resposta

d h d t = 3 16   m / m i n

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