Enunciado

27. A equação diferencial para a velocidade v de uma massa em queda m sujeita à resistência do ar proporcional à velocidade instantânea é:

m . d v d t = m g - k v

Em que k é uma constante de proporcionalidade positiva.

a) Resolva a equação sujeita à condição inicial v 0 = v 0 .

b) Determine a velocidade limite, ou terminal, da massa.

c) Se a distância s está relacionada com a velocidade através da igualdade d s d t = v , encontre uma expressão explícita para s , supondo que s 0 = s 0 .

Passo 1

a) A equação que nos foi dada é a seguinte:

m . d v d t = m g - k v

Simplificando tudo por m e reescrevendo a equação de outra forma, teremos:

d v d t = g - k m v

d v d t + k m v = g

O formato dessa equação é:

d v d t + P . v = Q

No qual P e Q são funções APENAS de t . Esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

v = e - ∫ P d t . ∫ e ∫ P d t . Q d t + c

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

Da nossa expressão tiramos que:

P t = k m

Q t = g

Substituindo na integral, teremos:

v = e - ∫ k m d t . ∫ e ∫ k m d t . g d t + c

v = e - k m ∫ d t . g ∫ e k m ∫ d t d t + c

Resolvendo a integral do expoente:

k m ∫ d t = k m t

Subsituindo na solução:

v = e - k m t . g ∫ e k m t d t + c

Passo 3

Agora temos que resolver essa última integral que apareceu na nossa solução, ok? A integral é:

∫ e k m t d t

Para resolve-la vamos fazer a seguinte substituição:

u = k m t

Derivando:

d u = k m d t

Substituindo, teremos:

m k ∫ e u d u = m k e k m t

Subsituindo na solução:

v = e - k m t . g . m k e k m t + c

∴ v t = g m k + c e k m t

E essa é a nossa expressão geral! No entanto, a questão quer que resolvamos para a condição inicial v 0 = v 0 . Para isso, teremos:

v 0 = g m k + c e 0

∴ c = v 0 - g m k

Substituindo na solução teremos como resultado:

v t = g m k + v 0 e k m t - g m k e k m t

Passo 4

b) A velocidade terminal ocorre para um tempo longo, isto é, para quando t → ∞ . Aplicando, teremos:

v + ∞ = g m k + v 0 + ∞ - g m + ∞

Como os dois últimos termos zeram, nos resta apenas:

v t = g m k

E essa é a velocidade terminal.

Passo 5

c) A expressão para velocidade que encontramos foi:

v t = g m k + v 0 e k m t - g m k e k m t

Como d s d t = v t , teremos:

d s d t = g m k + v 0 e k m t - g m k e k m t

Reescrevendo:

d s d t = g m k + 1 e k m t v 0 - g m k

Aqui dá para resolver por variáveis separáveis, ou seja, basta isolarmos tudo que tem s de um lado e tudo que tem t do outro, saca só:

d s = g m k d t + v 0 - g m k 1 e k m t d t

Então só precisamos integrar ambos os lados!

Passo 6

Integrando, teremos:

∫ d s = g m k ∫ d t + v 0 - g m k ∫ e - k m t d t

Para a integral do lado esquerdo, teremos:

∫ d s = s + c 1

Para a primeira integral do lado direito, teremos:

g m k ∫ d t = g m k t + c 2

Já para a última integral teremos que fazer a seguinte substituição, saca só:

u = - k m t

Derivando, teremos:

d u = - k m d t

Substituindo, teremos:

- m k ∫ e u d u = - m k e u + c 3

Voltando para t :

∫ e - k m t d t = - m k e - k m t + c 3

Show!

Passo 7

Agora que resolvemos todas as integrais vamos compactar o resultado, saca só:

∫ d s = g m k ∫ d t + v 0 - g m k ∫ e - k m t d t

s + c 1 = g m k t + c 2 - v 0 - g m k . m k e - k m t + c 3

Juntando c 1 ,   c 2   e   c 3 em uma constante só:

s t = g m k t - v 0 - g m k m k e - k m t + c

E essa é a nossa expressão, a princípio. No entanto, o enunciado quer que encontremos o resultado para a condição inicial s 0 = s 0 , então aplicando a condição obteremos:

s 0 = 0 - v 0 - g m k m k e 0 + c

∴ c = s 0 + v 0 - g m k m k

Substituindo na nossa expressão, teremos como resultado final:

s t = g m k t - v 0 - g m k m k e - k m t + s 0 + v 0 - g m k m k

E está aí nossa resolução!

Resposta

a) v t = g m k + v 0 e k m t - g m k e k m t

b) v t = g m k

c) s t = g m k t - v 0 - g m k m k e - k m t + s 0 + v 0 - g m k m k

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