Enunciado

Variação dos Parâmetros. Considere o seguinte método de resolução da equação linear de

primeira ordem geral:

(i)

  1. Se g(t) = 0 para todo t, mostre que a solução é
  2. (ii)

    em que A é uma constante.

  3. Se g(t) não é identicamente nula, suponha que a solução da Eq. (i) é da forma
  4. (iii)

    em que A agora é uma função de t. Substituindo y na equação diferencial dada, mostre que A(t) tem que satisfazer a condição

    (iv)

  5. Encontre A(t) da Eq. (iv). Depois substitua A(t) na Eq. (iii) e determine y. Verifique se a

solução obtida dessa maneira é igual à solução da Eq. (33) no texto. Essa técnica é conhecida

como o método de variação dos parâmetros; é discutida em detalhes na Seção 3.6 em conexão com equações lineares de segunda ordem.

Passo 1

  1. Ao observarmos a equação (i) percebemos que trata-se de uma EDO de primeira ordem, pois temos a primeira derivada da função y. Dessa forma, para acharmos a solução para essa equação. Antes disso, precisamos achar o fator integrante u ( t ) , que é dado da seguinte forma:

u t =   e ∫ p t   d t  

Passo 2

Agora que já sabemos o valor integrante, basta multiplicar toda a equação (i) por u ( t ) . Em que ficará assim:

u t y ' +   p t u t y = g t u ( t )

Agora, para encontrar a equação final contendo a variável y em função de t basta seguir esse bizu abaixo:

y =   A +   ∫ u t g t d t   u ( t ) , em que A é uma constante.

Mas, sabemos que u t =   e ∫ p t   d t , assim, substituímos na equação final descrita acima:

y =   A +   ∫ e ∫ p t   d t g t d t   e ∫ p t   d t

Porém, como diz o enunciado, quando g(t) = 0, temos:

y =   A   e ∫ p t   d t

Passo 3

Ou seja,

y =   A exp ⁡ [ - ∫ p t d t ]

Logo, está provado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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