Enunciado

Em cada um dos problemas de 39 a 42, use o método do Problema 38 para resolver a equação diferencial dada.

2 y ' + y = 3 t 2

Passo 1

É identificarmos que a EDO acima é de primeira ordem, pois estamos lidando com a primeira derivada da função y em função de t.

Após isso, vamos identificar quais são as funções p ( t ) (quem multiplica o y) e g ( t ) (quem está após a igualdade sem multiplicar nenhuma função de y). Porém, para identificar essas funções precisamos deixar que o fator y’ seja multiplicado por 1. Assim, vamos dividir toda a equação por 2.

Aí teremos:

y ' + 1 2 y = 3 t 2 2  

p t = 1 2 ;     g t =   3 t 2 2 ;  

Passo 2

Antes disso, para encontrar a SF (solução final) precisamos achar o fator integrante u ( t ) , que é dado da seguinte forma:

u t =   e ∫ p t   d t   , u t =   e ∫ 1 2   d t =   e t 2

Agora, para encontrar a equação final contendo a variável y em função de t basta seguir esse bizu abaixo:

y =   A +   ∫ u t g t d t   u ( t ) , em que A é uma constante.

Mas, sabemos que u t = e t 2   , assim, substituímos na equação final descrita acima:

y =   A +   ∫ e t 2   3 t 2 2   d t   e t 2

y =   A + 1 2 ∫ e t 2   3 t 2     d t   e t 2

Passo 3

Agora, para deixar a SF mais simplificada, basta calcular a integral abaixo, assim teremos:

y =   A + 1 2 ∫ e t 2   3 t 2     d t   e t 2

y =   A + ( 3 t 2 - 12 t + 24 ) e t 2 e t 2

y =   A e t 2 +   ( 3 t 2 - 12 t + 24 )

Podemos considerar que A e t 2 seja igual a C ( t ) . Assim, temos:

y =   C ( t ) +   3 t 2 - 12 t + 24

Resposta

y =   C ( t ) +   3 t 2 - 12 t + 24

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