Enunciado

Em cada um dos problemas de 21 a 23:

  1. Desenheum campo de direções para a equação diferencial dada. Como parece que as soluções se comportam quando t assume valores grandes? O comportamento depende da escolha do valor inicial a ? Seja a 0 o valor de a no qual ocorre a transição de um tipode comportamento para outro. Estime o valor de a 0 .
  2. Resolva o problema de valor inicial e encontre precisamente o valor crítico a 0 .
  3. Descreva o comportamento da solução correspondente ao valor inicial a 0 .

3 y ' - 2 y = e - π t 2 ,     y 0 = a

Passo 1

Para resolvermos esse problema vamos fazer o campo de direção com a ajuda de um software, que no meu caso será o GeoGebra, e depois iremos analisar o tipo de EDO que temos para resolver o problema de valor inicial usando fator integrante, onde

μ t = e ∫ p t d t

e a solução sendo dada por

y = 1 μ t ⋅ ∫ 0 t μ s ⋅ g s d s + C

Vamos resolver!!

Passo 2

  1. Bom, primeiro vamos fazer nosso campo de direções. Temos que ele será algo mais ou menos dessa forma
  2. Vemos que para um t → ∞ , o campo de direções tende a crescer infinitamente em uma grande escala de valores que dependerão de y 0 = a 0 . Outra coisa que podemos notar é que o campo tende a ficar horizontal em um valor próximo a y = - 0,12 .

    Passo 3

  3. Pela equação dada no passo 1, temos que para encontrar nosso fator integrante, temos que primeiramente encontrar p t . Pela forma da equação diferencial, temos que nosso p ( t ) será - 2 3 . Assim, nosso fator integrante fica
  4. μ t = e ∫ - 2 3 d t = e - 2 3 t

    E a nossa solução será

    y = 3 - 2 t ⋅ ∫ t 0 t - 2 3 ⋅ s ⋅ e - π 2 ⋅ s d s + C

    Usando integração por partes, vamos chegar que

    y t = 2 e 2 t 3 - 2 e - π t 2 + C ⋅ 4 + 3 ⋅ π e 2 t 3 4 + 3 π

    Se aplicarmos a condição de contorno, onde y 0 = a 0 , teremos que

    y 0 = a 0 = 2 ⋅ 1 - 2 ⋅ 1 + C ⋅ 4 + 3 ⋅ π ⋅ 1 4 + 3 ⋅ π → C = a 0

    Substituindo na equação original, vemos que

    y t = 2 e 2 t 3 - 2 e - π t 2 + a 0 ⋅ 4 + 3 ⋅ π e 2 t 3 4 + 3 π = - 2 e - π t 2 + a 0 ⋅ 4 + 3 ⋅ π + 2 e 2 t 3 4 + 3 π

    Como é um ponto de crítico, temos que a natureza das soluções só irá mudar quando

    a 0 ⋅ 4 + 3 ⋅ π + 2 = 0

    Ou seja:

    a 0 = - 2 4 + 3 ⋅ π

    Passo 4

  5. Bom, temos que no nosso valor de a 0 , como deveria ser, toda a expressão para e 2 t 3 será zero. Assim, nossa equação fica

y t = - 2 e - π t 2 4 + 3 ⋅ π

E para essa equação, vemos que para quanto maior for nosso t , mais y tende para zero.

Resposta

(b) a 0 = - 2 4 + 3 ⋅ π

(c) y t = - 2 e - π t 2 4 + 3 ⋅ π

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