Enunciado

27-28. Explique por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se a série é convergente.

28.

∑ n = 1 ∞ c o s 2 n 1 + n ²

Passo 1

Olá, galerinha! Tudo na boa?

O teste da integral só pode ser utilizado dado algumas condições, pessoal. Segundo a seção 11.3 do Stewart, temos que para o teste ser realizado a função f n = a n , que é o argumento da série, deve ser uma função contínua, positiva e decrescente em 1 ,   ∞ .

Sendo assim, a ideia aqui é que temos que provar que a série não cumpre essas condições e que por isso não se pode usar o teste da integral nela.

Vamos lá?

Passo 2

No nosso caso temos que:

f x = c o s 2 x 1 + x ²

A função é contínua e positiva para o intervalo:

[ 1 , ∞ )

já que estamos analisando somente os valores de x positivos.

Opa! A função não é totalmente decrescente no intervalo em questão, galera. Se a plotarmos em um gráfico, notaremos que ela oscila, em máximos e mínimos locais, variando em um intervalo crescente e outro decrescente.

Mas mesmo sem o gráfico já podemos prever isso, pois já sabemos que a própria função cos 2 ⁡ x tem comportamento oscilatório:

0 ≤   c o s 2 x   ≤ 1

Sendo assim, então provamos que, de fato, o teste da integral não pode ser utilizado para determinar se a série em questão é convergente ou divergente.

Resposta

A função não cumpre o requisito de ser decrescente no intervalo estudado.

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