Enunciado

Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro.

∑ n = 1 ∞ 1 n 4 + 1  

Passo 1

Para estimar a soma com N termos basta fazer

s ≈ ∑ n = 1 N 1 n 4 + 1

Como a questão pede com os 10 primeiros termos N = 10

s ≈ ∑ n = 1 10 1 n 4 + 1

Para este cálculo, podemos usar um software matemático

s ≈ 1,2 4856

Passo 2

Agora para estimar o erro, vamos usar

R N = s - s N

Podemos dizer que o erro é a soma dos termos seguintes, o que faz sentido já que estamos somando só até uma parte, o nosso erro é o que falta somar, então

R N = a N + 1 + a N + 2 + …

Onde N é o numero de termos que você vai usar, s é a soma total da série e s N é a aproximação, mas nós não sabemos quanto vale a soma desta série, então, vamos estimar o erro por comparação.

Se tivermos uma série ∑ b n = t , onde b n ≥ a n , ∀ n e o erro dessa série é dado por

T N = t - t N

T N = b N + 1 + b N + 2 + …

Podemos dizer que R N ≤ T N , por conta de que a N + 1 + a N + 2 + … < b N + 1 + b N + 2 + … .

Passo 3

Usando

b n = 1 n 2

Pois a n < b n , ∀ n . Podemos estimar o erro T N pelo teste da integral

T N ≤ ∫ N ∞ 1 x 2 d x  

E como R N ≤ T N , podemos afirmar que

R N ≤ ∫ N ∞ 1 x 2 d x

Calculando a integral

∫ N ∞ 1 x 2 d x = lim k → ∞ ⁡ ∫ N k 1 x 2 d x = lim k → ∞ ⁡ - 1 x N k = lim k → ∞ ⁡ - 1 k + 1 N = 1 N

Então temos que

R N < 1 N

Como estamos usando N = 10

R N < 0,1

Resposta

s ≈ 1,24856

e r r o < 0,1

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