Enunciado

Quais das séries ∑ n = 1 ∞ a n definidas pelas fórmulas nos Exercícios 1-4 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas.

2. ∑ n = 1 ∞ tg - 1 ⁡ n 2 n 2 + 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para esta série, iremos fazer o teste da integral, o teste é descrito da seguinte forma, considere a seguinte série

∑ n = k   ∞ f n

Onde f ( x ) é não negativa no intervalo [ k , ∞ ) e decrescente no intervalo, portanto, a série irá convergir se e somente se a seguinte integral possa convergir.

∫ k ∞ f x   d x

Passo 2

A série dada irá convergir se e somente se e somente se a seguinte Integral convergir.

∫ 1 ∞ tg - 1 ⁡ x 2 x 2 + 1   d x

Fazendo a substituição em u = tg - 1 ⁡ x , e o termo d u = d x 1 + x 2 , os limites de integração irão mudar para

∫ π 4 π 2 u 2   d u

Essa integral é igual a

∫ π 4 π 2 u 2   d u =   u 3 3 π 4 π 2 = π 2 3 - π 4 3 2

Portanto, a integral converge, e com isso, a série é convergente!

Resposta

Convergente!

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