Enunciado

38. Uma escada com 7m de comprimento está apoiada numa parede. Se o pé da escada for empurrado horizontalmente em direção à parede a 1,5m/s, com que velocidade o topo da escada será deslocado para cima quando o pé da escada estiver a 2m da parede.?

Passo 1

Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:

  1. Leia cuidadosamente o problema.
  2. Se possível, faça um diagrama.
  3. Indentificar as variáveis e as constantes do problema.
  4. Escreva uma equação que relacione as variáveis.
  5. Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
  6. Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.

Se liga na ilustração do que a questão disse:

X- distancia horizontal da escada até a parede.

Y – distância vertical da escada até o chão.

z- tamanho da escada.

A questão nos deu:

Z=7 (o tamanho a escada é constante).

d x d t = - 1,5 , negativo porque o x estará diminuindo.

E nos pede para entramos a taxa da altura da água, d y d t , quando x for igual a 2.

Passo 2

A equação que descreve o problema é a nossa conhecida fórmula de Pitágoras:

  z 2 = x 2 + y 2

Mas muito cuidado, esse z é constante, então, a derivada de y é zero.

Passo 3

Já ilustramos o que a questão pediu, já encontramos a equação que descreve o problema, agora só falta derivar.

Derivando em ambos os lados em relação a t:

0 = 2 x ⋅ d x d t + 2 y d y d t

Isolando d y d t :

d y d t   = - x y ⋅ d x d t  

Ops, falta sabermos quem é esse y ai, mas é muito simples, basta usarmos a fórmula de Pitágoras novamente.

z 2 = y 2 + x 2

7 2 = y 2 + 2 2

y = 45

y = 3 5

Voltando para nossas derivadas:

d y d t   = - 2 3 5 ⋅ - 1,5

d y d t   = 1 5   × 5 5

d y d t   = 5 5 m / s

Resposta

d y d t   = 5 5 m / s

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