Enunciado

36. Uma tina horizontal tem 16 m de comprimento e seus extremos são trapézios isósceles com uma altura de 4 m, uma base menor de 4 m e uma base maior de 6 m . A água está fluindo entro da tina a uma taxa de 10 m 3 / m i n . Com que velocidade o nível de água está subindo quando a profundidade da água é de 2 m ?

Passo 1

Opaaa, fala aí!! Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:

1- Leia cuidadosamente o problema.

2- Se possível, faça um diagrama.

3- Indentificar as variáveis e as constantes do problema.

4- Escreva uma equação que relacione as variáveis.

5- Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.

6- Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.

Passo 2

Se liga na ilustração do que a questão disse:

Essa é a tina vista de frente!

Nós precisamos saber d h d t quando h = 2 . Como o problema diz que a água está fluindo a uma taxa de 10   m 3 / m i n , repare nesse m 3 : isso é uma variação do volume!! Assim, vamos usar a fórmula do volume para relacionar as variáveis.

O volume dessa tina será a área da base vezes o comprimento:

V = A b × C

O problema nos deu C = 16   m . Além disso, temos que a área da base é a área desse trapézio da figura:

A b = b + B h 2

No nosso caso, vamos usar o trapézio com bases x e 4 e altura h (trapézio do meio da figura):

A b = x + 4 h 2

Substituindo no volume:

V = x + 4 h 2 × 16

Opa, mas temos duas variáveis ainda x e h . Vamos relacioná-las!!

Passo 3

Vamos olhar para a figura de novo:

Hmmm, podemos relacionar x e h por semelhança de triângulos:

x - 4 h = 2 4 = 1 2

x = h 2 + 4

Passo 4

Beleza!! Agora, vamos voltar para a fórmula do volume, substituindo x :

V = h 2 + 4 + 4 h 2 × 16

V = h 2 + 8 h 2 × 16

V = h 2 + 8 8 h

V = 4 h 2 + 64 h

E vamos derivar os dois lados com relação ao tempo para achar d h / d t :

d V d t = 4 2 h d h d t + 64 d h d t

d V d t = 8 h d h d t + 64 d h d t

Colocando d h / d t em evidência:

d V d t = d h d t ( 8 h + 64 )

d h d t = d V d t 1 8 h + 64  

Como queremos d h / d t quando h = 2   m e, sabendo que d V d t = 10 :

d h d t = 10 × 1 8 ( 2 ) + 64

d h d t = 1 8 = 0,125   m / m i n

Opaa, era isso que queríamos! Então, a altura está crescendo a uma taxa de 0,125   m / m i n quando h = 2   m .

Resposta

d h d t = 0,125   m / m i n

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