Enunciado

31. A equação de oferta para certo produto é x = 1000 3 p 2 + 20 p , onde x unidades são oferecidas por mês quando p for o preço unitário. Ache a taxa de variação na oferta se o preço corrente for de $   20   unidade e se o preço estiver crescendo a uma taxa de $   0,50   ao mês.

Passo 1

Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:

  1. Leia cuidadosamente o problema.
  2. Se possível, faça um diagrama.
  3. Indentificar as variáveis e as constantes do problema.
  4. Escreva uma equação que relacione as variáveis.
  5. Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
  6. Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.

Identificando as variáveis:

X- unidades oferecidas do produto.

p- preço.

A questão nos deu d p d t = 0 , 50 , a taxa de variação do preço ao mês.

E nos é pedido d x d t ( taxa de variação da oferta) quando p for $   20  

Passo 2

Dessa vez, não é preciso esquentarmos a cabeça procurando uma fórmula que relacione as variáveis, porque a questão nos deu de mãos beijadas.

Ai está a equação:

x = 1000 3 p 2 + 20 p

Derivando em ambos os lados em relação a t:

d x d t = d 1000 3 p 2 + 20 p d t

1000 é contante, então, pode sair de dentro da derivada,

d x d t = 1000 ⋅ d   3 p 2 + 20 p 1 2 d t

d x d t = 1000 ⋅ 1 2 ⋅ 3 p 2 + 20 p - 1 2 6 p d p d t + 20 d p d t  

Substituindo o que encontramos :

d x d t = 500 ⋅ 3 ⋅ 20 2 + 20 ⋅ 20 - 1 2 6 ⋅ 20 ⋅ 0,50 + 20 ⋅ 0,50  

d x d t = 500 ⋅ 3 ⋅ 20 2 + 20 ⋅ 20 - 1 2 70

d x d t = 87 5

esta é a taxa de variação da oferta ao mês.

Resposta

d x d t = 875

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um balão esférico é esvaziado de tal forma que seu raio decresce a uma taxa constante de 15c m / m i n . Com que taxa o ar estará sendo removido quando o raio for de 9c m ?
Um balão esférico é inflado de tal forma que seu volume cresce a uma taxa de 3c m 3 / m i n . Com que rapidez o diâmetro do balão estará crescendo quando o raio for de 1c m ?
Seja A a área de um quadrado cujos lados têm comprimento x e suponha que x varie com o tempo t . (a) Faça uma figura do quadrado com os dados A e x colocados apropriadamente. (b) Escreva uma equação q
Um foguete subindo verticalmente é acompanhado por uma estação de radar no solo a 5k m da rampa de lançamento. Com que rapidez o foguete estará subindo quando sua altura for de 4k m e sua distância da
O ponteiro dos minutos de um relógio tem 4c m de comprimento. Começando do momento em que está apontando diretamente para cima, com que rapidez estará variando a área do setor que é varrido por ele du