Enunciado

29. Suponha que o custo, em dólares, para uma companhia produzir x novas linhas de jeans é

C ( x ) = 2000 + 3 x + 0,01 x 2 + 0,0002 x 3

  1. Encontre a função custo marginal
  2. Encontre C ’ ( 100 ) e explique seu resultado. O que ele prediz?
  3. Compare C ’ ( 100 ) com o custo de manufaturar os   101 primeiros jeans.

Passo 1

Falaii galerinhaa, bora resolver mais umazinha?

Vamos iniciar encontrando a função de custo marginal C M ( x )

Por teoria, a derivada de uma função descreve a taxa de variação instantânea da função em relação a uma variável. No contexto da economia, a função de custo total C ( x ) descreve o custo total de produção em função da quantidade produzida x .

A função de custo marginal C M ( x ) representa a taxa de variação do custo total em relação à quantidade produzida, ou seja, quanto custo adicional é gerado pela produção de uma unidade adicional.

Para encontrar a função de custo marginal, derivamos a função de custo total em relação a x usando a regra do poder, que diz que a derivada de x n em relação a x   é   n x n - 1 .

Portanto, a derivada da função de custo total C ( x ) em relação a x nos dá a função de custo marginal C M ( x ) .

Passo 2

Para o item (a), a função de custo total é dada por:

C ( x )   =   2000   +   3 x   +   0,01 x 2   +   0,0002 x 3

Para encontrar a função de custo marginal, precisamos derivar a função de custo total em relação a x :

C ' x = d d x   2000   +   3 x   +   0,01 x 2 +   0,0002 x 3

Derivando termo a termo, temos:

C ' ( x )   =   0   +   3   +   0,02 x   +   0,0006 x 2

Portanto, a função de custo marginal é:

C M ( x )   =   3   +   0,02 x   +   0,0006 x 2

Essa função nos dá o custo adicional de produzir uma unidade adicional de jeans para uma determinada quantidade x

Passo 3

Para o item (b), vamos encontrar o custo marginal em um determinado ponto, substituímos o valor desse ponto na função de custo marginal.

No contexto do problema, estamos interessados no custo marginal quando x = 100 ,   ou seja, queremos saber quanto custo adicional é gerado ao produzir a 101ª unidade de jeans.

Para calcular o custo marginal quando x = 100 , simplesmente substituímos x = 100 na função de custo marginal:

C M ( 100 )   =   3   +   0,02 ( 100 )   +   0,0006 100 2

  C M ( 100 )   =   3   +   2   +   6  

  C M ( 100 )   =   11  

Isso nos diz que o custo adicional de produzir a 101ª unidade de jeans é de 11 dólares.

Passo 4

Para o item (c), a função de custo total C ( x ) nos dá o custo total de produzir x unidades de jeans.

Para encontrar o custo de produzir um número específico de unidades, substituímos esse número na função C x .

No nosso caso, queremos encontrar o custo de produzir os 101 primeiros jeans, então substituímos x = 101 na função C ( x ) .

Ao comparar esse custo com o custo marginal de produzir a 101ª unidade, podemos observar a diferença entre o custo total e o custo marginal, o que nos dá insights sobre os custos fixos e variáveis envolvidos na produção.

Para encontrar o custo total de produzir os 101 primeiros jeans, e comparar com C 100 ,  

C ( 101 ) = 2000 + 3 ( 101 ) + 0,01 ( 101 ) 2 + 0,0002 ( 101 ) 3

C ( 101 ) = 2000 + 303 + 102,01 + 206,06 = 2.611,07   d ó l a r e s

C ( 100 ) = 2000 + 3 ( 100 ) + 0,01 ( 100 ) 2 + 0,0002 ( 100 ) 3

C ( 100 ) = 2000 + 300 + 100 + 200 = 2600   d ó l a r e s

C ( 101 ) -   C ( 100 ) = 2.611,07 - 2600 = 11,07   d ó l a r e s

Como esperado o custo para produzir as 101 primeiras peças é o aproximadamente o custo marginal da 100   °   p e ç a

Resposta

(a)

C ' ( x ) = 3 + 0,02 x + 0,0006 x 2

(b)

C ’ ( 100 ) = 11   d ó l a r e s

(c)

11,07   d ó l a r e s

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