Enunciado

Suponha que os comprimentos dos segmentos A B e 0 B sejam, respectivamente, 5   c m e 3   c m . Suponha, ainda, que θ esteja variando a uma taxa constante de 1 2 rad/s. Determine a velocidade de A , quando θ = π 2 rad.

Passo 1

Vemos que o ponto A correrá sempre encostado no eixo x , então, sua velocidade será dada pala variação de x que é d x d t .

Assim, devemos relacionar θ com x . Para isso, usamos a lei dos cossenos:

5 2 = 3 2 + x 2 - 2 ⋅ 3 ⋅ x cos ⁡ θ

x 2 - 6 x cos ⁡ θ = 16

Derivando em relação a t :

2 x ⋅ d x d t - 6 d x d t cos ⁡ θ - x sen ⁡ θ ⋅ d θ d t = 0

2 x ⋅ d x d t - 6 d x d t cos ⁡ θ + 6 x sen ⁡ θ ⋅ d θ d t = 0

Passo 2

Quando θ = π 2 rad, temos:

x 2 - 6 x cos ⁡ θ = 16

x 2 - 6 x cos ⁡ π 2 = 16

x 2 - 6 x ⋅ 0 = 16

x 2 = 16

x = ± 4

Quando o ângulo θ chegar a π 2 , o valor de x será positivo, assim x = 4 .

Se x = 4 , θ = π 2 e θ está variando a uma taxa constante de 1 2 rad/s ( d θ d t = 1 2 ), temos:

2 x ⋅ d x d t - 6 d x d t cos ⁡ θ + 6 x sen ⁡ θ ⋅ d θ d t = 0

2 ⋅ 4 ⋅ d x d t - 6 d x d t cos ⁡ π 2 + 6 ⋅ 4 sen ⁡ π 2 ⋅ 1 2 = 0

8 d x d t + 12 = 0

d x d t = - 12 8 = - 3 2

Logo, a velocidade de A é de - 3 2 cm/s.

Resposta

A velocidade de A é de - 3 2 cm/s.

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