Enunciado

1-6. Uma partícula move-se segundo a lei do movimento s = f ( t ) , t ≥ 0 , onde t é medido em segundos e s em pés.

a) Encontre a velocidade no instante t .

b) Qual a velocidade depois de 3 s?

c) Quando a partícula está em repouso?

d) Quando a partícula está se movendo no sentido positivo?

e) Encontre a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos.

f) Desenhe um diagrama como na figura 2 para ilustrar o movimento da partícula.

3.

f ( t ) = t 3 - 12 t 2 + 36 t

Passo 1

Fala aí. Tudo belezinha por aí?

Bom, essa questão deu pra gente a função

f t = t 3 - 12 t 2 + 36 t

Dizendo que uma partícula se move segundo a lei do movimento s = f ( t ) , t ≥ 0 , onde t é medido em segundos e s em pés.

E pede pra gente analisar essa função e responder as seguintes perguntas:

a) Encontre a velocidade no instante t .

b) Qual a velocidade depois de 3 s?

c) Quando a partícula está em repouso?

d) Quando a partícula está se movendo no sentido positivo?

e) Encontre a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos.

f) Desenhe um diagrama como na figura 2 para ilustrar o movimento da partícula.

Eita! Bastante coisa, né? Mas calma. Vamos relembrar algumas coisas importantes aqui:

Quando temos a função que determina a velocidade de uma partícula com o passar do tempo, podemos encontrar a função velocidade derivando a função posição. Isso vai ajudar a gente a resolver todos os itens.

Vamos ver cada um deles no passo a passo. Bora!

Passo 2

Precisamos, no item a) encontrar a velocidade no instante t .

Lembrando que derivada da função posição, é a velocidade, teremos:

v t = d f d t = t 3 - 12 t 2 + 36 t '

v t = 3 t 2 - 24 t + 36

Prontinho. Agora vamos usar essa função velocidade para responder aos outros itens.

Passo 3

No item b) vamos calcular a velocidade depois de 3 s.

Para isso apenas precisamos substituir t = 3 , e calcular. Veja:

v t = 3 t 2 - 24 t + 36

v ( 3 ) = 3 ( 3 ) 2 - 24 ( 3 ) + 36

v 3 = 27 - 72 + 36

v ( 3 ) = - 9   p é s / s

Show. Pr��xima!

Passo 4

Nesse passo, devemos responder, c) Quando a partícula está em repouso.

(c)

A partícula vai estar em repouso quando v ( t ) = 0 .

Assim, basta igualar a função velocidade a zero e resolver a equação. Veja:

3 t 2 - 24 t + 36 = 0

Eita. Isso nos deu uma equação de segundo grau. Então, vamos cair pra dentro dela.

3 ( t 2 - 8 t + 12 ) = 0

Fatorando, ficamos com:

3 ( t - 6 ) ( t - 2 ) = 0

Que nos dará as raízes:

t = 6 ou t = 2

E podemos dizer que nesses instantes a partícula se encontrará em repouso.

Passo 5

Agora vamos dizer d) Quando a partícula está se movendo no sentido positivo.

(d)

A partícula está se movendo no sentido positivo quando v ( t ) > 0 .

E agora o que era uma equação, se torna uma inequação. Veja:

3 t - 6 t - 2 > 0

Como já sabemos as raízes, basta fazer a análise de sinal.

Que nos dirá que a partícula se move no sentido positivo

t < 2 ou t > 6

Passo 6

E agora chegou a hora de responder o item e). Para sabermos a distância percorrida, temos que somar as distâncias percorridas tanto no sentido positivo quanto negativo.

Vamos fazer de t = 0 até t = 2 s .

f ( 0 ) = ( 0 ) 3 - 12 ( 0 ) 2 + 36 ( 0 ) = 0

f ( 2 ) = ( 2 ) 3 - 12 ( 2 ) 2 + 36 ( 2 ) = 8 - 48 + 72 = 32

A distância percorrida nesse intervalo será:

f ( 2 ) - f ( 0 ) = 32 - 0 = 32 = 32   p é s

Vamos fazer de t = 2 s até t = 6 s .

f ( 2 ) = ( 2 ) 3 - 12 ( 2 ) 2 + 36 ( 2 ) = 8 - 48 + 72 = 32

f ( 6 ) = ( 6 ) 3 - 12 ( 6 ) 2 + 36 ( 6 ) = 216 - 432 + 216 = 0

A distância percorrida nesse intervalo será:

f ( 6 ) - f ( 2 ) = 0 - 32 = - 32 = 32   p é s

Para terminar, faremos de 6 s até 8 s :

f ( 6 ) = ( 6 ) 3 - 12 ( 6 ) 2 + 36 ( 6 ) = 216 - 432 + 216 = 0

f ( 8 ) = ( 8 ) 3 - 12 ( 8 ) 2 + 36 ( 8 ) = 512 - 768 + 288 = 32

A distância percorrida nesse intervalo será:

f ( 8 ) - f ( 6 ) = 32 - 0 = 32 = 32   p é s

Para sabermos a distância percorrida, precisamos apenas somar essas distâncias.

Distância Percorrida é 32   p é s + 32   p é s + 32   p é s = 96   p é s

Passo 7

E no item f), faremos o diagrama!

Perceba que ele representa bem o que calculamos, pois vemos que de t = 0 s a t = 2 s a partícula se move pra frente até s = 32 p é s , depois no intervalo de t = 2 s a t = 6 s a partícula volta para trás por outros 32 p é s . E, por fim, ela anda para frente de t = 6 s até t = 8 s , por outros 32 p é s .

E assim, temos nossa reposta com a análise desse movimento.

Resposta

(a)

v ( t ) = 3 t 2 - 24 t + 36

(b)

v ( 3 ) = - 9   p é s / s

(c)

t = 6 ou t = 2

(d)

t < 2 ou t > 6

(e)

Distância Percorrida é 96   p é s

(f)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Derive a função.y = x^((5)/(3)) - x^((2)/(3))
Derive a função.h (t) = root(4)(t) - 4 e^t
Derive a função:A (s) = - (12)/(s^5)
Derive a função.S (R) = 4 pi R^2
Derive a função.f (t) = 1,4 t^5 - 2,5 t^2 + 6,7