Enunciado

33. A lei dos gases para um gás ideal à temperatura absoluta T (em kelvins), pressão P (em atmosferas) e volume V (em litros) é P V = n R T , onde n é o número de mols de gás e R = 0,0821 é uma constante do gás. Suponha que, em um certo instante, P = 8,0   a t m , e está crescendo a uma taxa de 0,10 a t m / m i n , e V = 10   L , e está decrescendo a uma taxa de 0,15   L / m i n . Encontre a taxa de variação de T em relação ao tempo naquele instante se n = 10   m o l s

Passo 1

Olá, meu amigo. Hoje estarei te ajudando a resolver essa atividade.

A gente tem a equação:

P V = n R T

E queremos encontrar a taxa de variação de T em relação ao tempo. Quando queremos a taxa de variação de algo, significa que deveremos derivar a equação em relação a variável que eu quero acompanhar a variação, nesse caso, iremos derivar T em relação a t .

Usaremos a fórmula do produto de derivada, pois temos aqui um produto de funções, já que as outras grandezas aqui também são funções em relação ao tempo.

Vou aqui a regra do produto para facilitar nosso trabalho!

f g ' = f ' g + f g '

Como queremos a taxa de variação de T , iremos isolar T na fórmula.

Passo 2

Então, isolando o T :

P V n R = T

Fazendo a derivada em relação ao tempo t , sabendo que podemos retirar as constantes em relação ao tempo da derivação:

1 n R d P d t V + d V d t P = d T d t

Anotando as coisas importantes do enunciado!

d P d t = 0,10   a t m / m i n

P = 8,0   a t m

d V d t = - 0,15   L / m i n

V = 10   L

n = 10   m o l s

Passo 3

Então temos:

1 n R d P d t V + d V d t P = d T d t

Substituindo tudo dentro da expressão de d T d t

d T d t = 1 10 ∙ 0,0821 0,10 10   + - 0,15 8,0

d T d t = 1 10 ∙ 0,0821 1   - 1,2

d T d t = - 0,2 10 ∙ 0,0821 = - 0,2436 K / m i n

Resposta

d T d t = - 0,2436 K / m i n

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