Enunciado

29- Tomando um milk-shake O recipiente cônico truncado mostrado na figura a seguir está cheio de milk-shake de morango que pesa 4 / 9 oncas/ p o l ^ 3 . Como podemos ver, ele tem 7 p o l de profundidade, 2.5 p o l de diâmetro na base e 3.5 no topo.

O canudo se estende uma polegada acima do topo. Aproximadamente quanto trabalho é necessário para tomar o milk-shake com o canudo(despreze o atrito)? Responda em polegadas.

Passo 1

Para conseguir calcular o trabalho necessário para conseguir puxar o milk-shake precisamos primeiramente saber qual a força necessária para isso, e para isso ele deu o peso do líquido:

ρ = 4 9 o n c a s / p o l 3  

O que pela medida conseguimos dizer que é o peso específico do líquido então se multiplicarmos essa equação pelo volume teremos a força que deve ser feita para puxar o mesmo.

P = 4 9 Δ V

Passo 2

Agora para calcular esse volume:

Para facilitar a compreensão dessa questão imagine que o milk-shake é dividido em várias discos tais como a da camada que tem altura d y no copo, essa camada que será nossa objeto de estudo. Podemos calcular o volume desse disco da seguinte forma:

Δ V = π r a i o 2 e s p e s s u r a = π y + 17.5 2 14 2 d y   p o l 3    

Passo 3

A profundidade do milk-shake em relação ao ponto que gera a força é variável e vale 8 - y , e o intervalo que iremos utilizar vai de 0 a 7 pois é o limite do reservatório que segura o líquido. Logo nossa integral fica da seguinte forma:

W = ∫ 0 7 4 9 π y + 17.5 2 14 2 8 - y d y

W = 4 π 9 × 14 2 ∫ 0 7 y + 17.5 2 8 - y d y

W = 4 π 1764 ∫ 0 7 y 2 + 35 y + 306.25 8 - y d y

W = 4 π 1764 ∫ 0 7 - y 3 - 27 y 2 - 26.25 y + 2450 d y

W = 4 π 1764 - y 4 4 - 9 y 3 - 26.25 y 2 2 + 2450 y 0 7

W = 4 π 1764 - 7 4 4 - 9 7 3 - 26.25 × 49 2 + 2450 × 7 = 91.32   p o l . o z

Outra forma de se pensar para essa questão é fazer a fórmula:

W = ∫ ρ h A

Onde a altura é 8 - y e a área é a área do círculo formado pelo disco.

Resposta

W = 91.32   i n - o z

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