Enunciado

31. Bombeamento de um tanque cônico Um tanque cônico circular reto, apontado para baixo, cuja boca tem 5 pés de raio e 10 pés de altura, está cheio com um líquido cujo peso específico

é 60 lb/pé3. Quanto trabalho é necessário para bombear o líquido para um ponto 2 pés acima do tanque? Se a bomba é movida por um motor que trabalha a uma taxa de 275 pés-lb/s ( 1 / 2   H P )   , quanto tempo ela levará para esvaziar o tanque?

Passo 1

Nós podemos desenhar a seção transversal de cone, em um plano cartesiano, para facilitar nossas contas:

A reta que a lateral do cone faz é igual a

x = 5 10 y

x = 1 2 y

Passo 2

Imagine que esse reservatório é igual a uma soma de vários clindros com altura infinitesimais, cada clindros tem um volume de:

d V = π r y 2 d y

Mas, nós conhecemos a reta da lateral do cone, a coordenada x dessa reta é igual ao raio, para cada valor de altura temos um raio, então:

d V = π r 1 2 y 2 d y

d V = π 4 y 2 d y

O peso desse pedacinho de volume é igual ao voluma vezes a densidade da líquido, 60   l b / p é 3 :

d P = ρ ⋅ d V

d P = 60 ⋅ π 4 y 2 d y

d P = 1 5 π y 2 d y

Passo 3

Para nós levarmos esse peso até o topo vamos ter que fazer um poquinho de trabalho, podemos escrever assim:

d W = h ⋅ d P

A altura que cada pedaço de volume subiu vai ser igual a ( 10   p é s + 2   p é s ) menos sua própria altura:

h = 12 - y

Então seu trabalho é igual a

d W = 12 - y ⋅ 1 5 π y 2 d y

d W = 180 π y 2 - 15 π y 3 d y

Passo 4

Integrando essa equação, vamos descobrir o trabalho total necessário para bombear a água:

W = ∫ 0 10 1 80 π y 2 - 1 5 π y 3 d y

W = 60 π y 3 - 15 π 4 y 4 ​ 0 10

W = 60 π 10 3 - 15 π 4 10 4

W = 22.500 π   p é s ⋅ l b

Passo 5

O tempo necessário para esvaziar o tanque é:

t = 22.500 π 275

t = 257   s

Resposta

W = 22.500   p é s ⋅ l b

t = 257   s

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