Enunciado

Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

y = x ; y = 0 ; y = x - 2

Passo 1

Temos a seguinte imagem gráfica:

Temos que a região é limitada pelas curvas y = x ; y = 0 ; y = x - 2 .. Podemos perceber no gráfico que a variação no eixo y é 0 < y ≤ 2 Então, podemos concluir que nossa f y = y + 2 - y 2 .

Queremos usar o método da casca, porém a rotação agora é em torno do eixo x, logo, devemos usar a seguinte fórmula:

V =   ∫ a b 2 π y   f y d y

Em que f y = y + 2 - y 2

Substituindo da fórmula acima, temos:

V =   ∫ 0 2 2 π y   y + 2 - y 2   d y

= 2 π ∫ 0 2 2 y + y 2 - y 3   d y = 2 π y 2 + y 3 3 - y 4 4 2 0 = 2 π 4 + 8 3 - 16 4  

= 2 π   48 + 32 - 48 12 = 2 π 32 12 = 16 π 3

Resposta

16 π 3

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