Enunciado

31. Em um modelo de variação populacional P t de uma comunidade, é suposto que:

d P d t = d B d t - d D d t

Em que d B d t e d D d t são as taxas de nascimento e óbito, respectivamente.

a) Resolva para P t se:

d B d t = k 1 P

E:

d D d t = k 2 P

b) Analise os casos k 1 > k 2 , k 1 = k 2 e k 1 < k 2 .

Passo 1

a) Então galera, a equação que nos foi dada é a seguinte:

d P d t = d B d t - d D d t

Fazendo as substituições que nos foram dadas, teremos:

d P d t = k 1 P - k 2 P

d P d t = P k 1 - k 2

Isolando as variáveis:

d P P = k 1 - k 2 d t

Show!

Passo 2

Agora basta integrarmos ambos lados da equação, saca só:

∫ d P P = k 1 - k 2 ∫ d t

O resultado será:

ln ⁡ P = k 1 - k 2 t + c

P t = k e k 1 - k 2 t

Show!

Passo 3

b) Agora aqui precisamos fazer nossas análises, certo? Primeiramente devemos analisar o caso em que k 1 > k 2 . Supondo que k 1 seja muuuuuito maior que k 2 , teremos:

t → ∞

P t → ∞

Agora para k 1 = k 2 teremos:

P t = k

E, por fim, para k 1 < k 2 :

t → ∞

P t → 0

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

a) P t = k e k 1 - k 2 t

b) Para k 1 > k 2 : t e P → ∞

Para k 1 = k 2 : P = k

Para k 1 < k 2 : t → ∞ e P → 0

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial: y ' = x e x - y c o s s e c   y
Resolva a equação diferencial. y ' = e y x y
Resolva a equação diferencial. x y ' + y = x
Determine se a equação diferencial é linear. x y + x = e x y '
Determine se a equação diferencial é linear. x y ' + ln ⁡ x - x 2 y = 0
Determine se a equação diferencial é linear. y + s e n   x = x 3 y '
Resolva a equação diferencial. y ' = x y e x 2
Resolva a equação diferencial. y ' = x e y x - 2  
Uma trajetória de fase é mostrada para as populações de coelhos (C) e raposas (R).Descreva como cada população muda com o passar do tempo.Use sua descrição para fazer um esboço gro...
Os gráficos de populações de duas espécies são ilustrados. Use-os para esboçar a trajetória de fase correspondente.
Os gráficos de populações de duas espécies são ilustrados. Use-os para esboçar a trajetória de fase correspondente.
As populações de pulgões e joaninhas são modeladas pelas equações d P d t = 2 P - 0,01 P J d J d t = - 0,5 J + 0,0001 P J Calcule as soluções de equilíbrio e explique seu significa...