Enunciado

31. Em um modelo de variação populacional P t de uma comunidade, é suposto que:

d P d t = d B d t - d D d t

Em que d B d t e d D d t são as taxas de nascimento e óbito, respectivamente.

a) Resolva para P t se:

d B d t = k 1 P

E:

d D d t = k 2 P

b) Analise os casos k 1 > k 2 , k 1 = k 2 e k 1 < k 2 .

Passo 1

a) Então galera, a equação que nos foi dada é a seguinte:

d P d t = d B d t - d D d t

Fazendo as substituições que nos foram dadas, teremos:

d P d t = k 1 P - k 2 P

d P d t = P k 1 - k 2

Isolando as variáveis:

d P P = k 1 - k 2 d t

Show!

Passo 2

Agora basta integrarmos ambos lados da equação, saca só:

∫ d P P = k 1 - k 2 ∫ d t

O resultado será:

ln ⁡ P = k 1 - k 2 t + c

P t = k e k 1 - k 2 t

Show!

Passo 3

b) Agora aqui precisamos fazer nossas análises, certo? Primeiramente devemos analisar o caso em que k 1 > k 2 . Supondo que k 1 seja muuuuuito maior que k 2 , teremos:

t → ∞

P t → ∞

Agora para k 1 = k 2 teremos:

P t = k

E, por fim, para k 1 < k 2 :

t → ∞

P t → 0

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

a) P t = k e k 1 - k 2 t

b) Para k 1 > k 2 : t e P → ∞

Para k 1 = k 2 : P = k

Para k 1 < k 2 : t → ∞ e P → 0

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