Enunciado

Supondo 0 < P 0 < e a b e a > 0 , use a equação 9 para encontrar a ordenada do ponto de inflexão de uma curva de Gompertz.

Passo 1

Então pessoal, a inflexão de uma função ocorre quando a derivada segunda é nula. Sendo assim, temos que derivar a nossa equação 9 duas vezes e igualar a zero para ver o que encontramos, ok? Show! A equação é essa:

P t = e a b e - k e - b t

E a constante é a seguinte:

k = a b - ln ⁡ P 0

Então vamo que vamo derivar isso aí!

Passo 2

Derivando a primeira vez, teremos:

P ' t   = e a b e - k e - b t . - k e - b t . - b

P ' t = b k e a b e - b t . e - k e - b t

∴ P ' t = b k e a b - b t e - k e - b t

Agora derivando a segunda vez:

P ' ' t   = b k e - k e - b t . - k e - b t . - b . e a b - b t + e - k e - b t . e a b - b t . - b

∴ P ' ' t = b 2 k e a b - b t e - k e - b t k e - b t - 1

Show!

Passo 3

Agora que encontramos as duas derivadas vamos igualar a segunda a zero:

b 2 k e a b - b t e - k e - b t k e - b t - 1 = 0

k e - b t - 1 = 0

Ou:

b 2 k e a b - b t e - k e - b t = 0

Da primeira tiramos que:

a b - ln ⁡ P 0 e - b t = 1

a b - 1 = ln ⁡ P 0 e - b t

∴ t = 1 b . ln ⁡ a b - ln ⁡ P 0

Aplicando o resultado na nossa função:

P t = e a b e - k e - b t

P t = e a b e - 1 b . ln ⁡ a b - ln ⁡ P 0 e - b ln ⁡ a b - ln ⁡ P 0

P t = e a b e - 1 b . ln ⁡ a b - ln ⁡ P 0 a b - ln ⁡ P 0

∴ P = e a b - 1

E essa é a nossa resposta!

Resposta

P = e a b - 1   e   t = 1 b . ln ⁡ a b - ln ⁡ P 0

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