Enunciado

Um tanque contém 200 litros de fluido no qual são dissolvidos 30   g de sal. Uma solução salina contendo 1   g de sal por litro é então bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 litros por minuto; a mistura é drenada à mesma taxa. Encontre a quantidade de gramas de sal A ( t ) no tanque em qualquer instante.

Passo 1

E aí, vamos lá?

Lá na equação 11 do seu livro, ele fala que em problemas do tipo, temos:

d A d t = t a x a   d e   e n t r a d a   d o   s a l - t a x a   d e   s a í d a   d o   s a l = R 1 - R 2     ( I )

A taxa de entrada do sal é:

R 1 = 1 g L . 4 L m i n = 4   g / m i n

E a taxa de saída é:

R 2 = A 200 g L . 4 L m i n = A 50   g / m i n

Então, a equação ( I ) vai ser

d A d t = 4 - A 50

E como são dissolvidos 30   g de sal, temos A 0 = 50 como condição inicial

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d A d t + C t . A = B ( t ) , olha:

d A d t + 1 50 . A = 4     ( I I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

A t = 1 I t ∫ I t . B t   d t + c     ( I I I )

Onde I t = e ∫ C t   d t

Na nossa equação ( I I ) , temos C t = 1 50 e B t = 4 então:

I t = e ∫ 1 50   d t

I t = e 1 50 t

Substituindo o que temos na equação ( I I I ) :

A t = 1 e 1 50 t ∫ e 1 50 t . 4   d t + c

A t = 1 e 1 50 t 200 . e 1 50 t + c

A t = 200 + c . e -   1 50 t

Agora vamos aplicar a condição inicial, beleza?

Passo 2

Temos

A t = 200 + c . e -   1 50 t

Aplicando a condição inicial de que A 0 = 30   g   d e   s a l :

A 0 = 30 = 200 + c . e -   1 50 . 0

c + 200 = 30

c = - 170

Então, a quantidade A ( t ) pode ser escrita assim:

A t = 200 - 170 . e -   1 50 t

Mais rápido do que parecia né? :P

Resposta

A t = 200 - 170 . e -   1 50 t

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