Enunciado

3-10. Determine se F é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .

4. F x ,   y = y 2 - 2 x i + 2 x y j

Passo 1

Então pessoal, assim como o enunciado nos pede, de início temos que determinar se F é um campo conservativo ou não. Mas como fazemos isso? De acordo com a seção 16.3 do Stewart, um campo é conservativo quando as derivadas mistas das componentes são iguais, ou seja:

F → = F x i → + F y j →

Para ser conservativo:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Passo 2

Nossa função é:

F x ,   y = y 2 - 2 x i + 2 x y j

Encontrando as derivadas parciais:

∂ F x ∂ y = ∂ ( y 2 - 2 x ) ∂ y = 2 y

∂ F y ∂ x = ∂ 2 x y ∂ x = 2 y

Como as derivadas parciais deram iguais, então podemos concluir que F é conservativo! Agora que determinamos isso, precisamos determinar uma função potencial para F , mas como fazemos isso? Vamos pegar qualquer uma das componentes de F e integrar em relação à sua variável, se liga:

∫ F y d y = ∫ 2 x y d y

O resultado disso será:

f = x y 2 + g x

Espera aí, da onde saiu essa função g ( x ) ? Quando realizamos uma integração indefinida surge uma constante, não é? Como nossa função f é uma função apenas de y , quando derivarmos-a aquela g ( x ) desaparece, então ela funciona como uma constante! Agora o que temos que fazer é determinar quem é essa função, então bora lá!

Passo 3

O que precisamos fazer agora é derivar a função potencial que encontramos em relação à x , se liga:

∂ f ∂ x = y 2 + g ' x

De acordo com o passo 1, temos que a componente x do campo dado é:

F x = y 2 - 2 x

Igualando as equações, teremos que:

y 2 + g ' x = y 2 - 2 x

Disso podemos tirar que g ' x = - 2 x . Integrando para descobrir g ( x ) :

g x = ∫ - 2 x d x = - x 2 + C

Com isso, podemos completar a função f que queremos:

f = x y 2 - x 2 + C

Resolvido!

Resposta

f = x y 2 - x 2 + C

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