Enunciado

Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, encontre uma função f tal que F = ∇ f .

F x , y , z = z   c o s   y i + x z   s e n   y j + x cos ⁡ y k

Passo 1

Bom, pessoal, queremos saber se o campo vetorial dado é conservativo. Mas o que é um campo conservativo?

Se F = P i + Q j + R k é um campo vetorial em R 3 e as derivadas parciais de segunda ordem de P ,   Q   e   R existem e r o t   F = 0 , F será um campo vetorial conservativo.

Já sabemos que a expressão para o rotacional é:

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Logo, para essa questão vamos primeiro calcular as derivadas parciais!

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y z   c o s   y = - z   s e n   y

∂ P ∂ z = ∂ ∂ z z   c o s   y = cos ⁡ y

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x x z   s e n   y = z   s e n   y

∂ Q ∂ z = ∂ ∂ z x z   s e n   y = x   s e n   y

∂ R ∂ y = ∂ ∂ y x cos ⁡ y = - x   s e n   y

∂ R ∂ x = ∂ ∂ x x cos ⁡ y = cos ⁡ y

Calculando o rotacional do campo vetorial:

r o t   F = - x   s e n   y - x   s e n   y i + cos ⁡ y - cos ⁡ y j + z   s e n   y + z   s e n   y k

r o t   F = - 2 x   s e n   y i ^ + 2 z   s e n   y k ^

Como o valor do rotacional de F é diferente de zero, o campo é não conservativo.

Resposta

O campo é não conservativo.

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