Enunciado

31-34. Use o Teorema 5.5.5 para calcular as integrais dadas.

31. b) ∫ 0 3 π 4 cos ⁡ x d x

Passo 1

Então pessoal, antes de resolvermos a integral que nos foi dada vamos relembrar do que se trata o Teorema 5.5.5, tudo bem? Show! Ele nos diz o seguinte:

“Se f for integrável em um intervalo fechado contendo os três pontos a ,   b   e   c , então:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Não importando como os pontos estejam ordenados.”

Tendo isso em vista, agora vamos tentar aplicar essa ideia no nosso problema!

Passo 2

A integral que nos foi dada é a seguinte:

∫ 0 3 π 4 cos ⁡ x d x

Esse módulo é um problema pra gente, então o que devemos fazer é retirá-lo assumindo algumas restrições, saca só:

f x = cos ⁡ x = cos ⁡ x ,       0 ≤ x ≤ π 2 - cos ⁡ x ,   π 2 ≤ x ≤ 3 π 4  

Feito isso, agora sim podemos aplicar o Teorema 5.5.5 que enunciamos no passo 1. Utilizando-o, teremos:

∫ 0 3 π 4 cos ⁡ x d x = ∫ 0 π 2 cos ⁡ x d x - ∫ π 2 3 π 4 cos ⁡ x d x

Show!

Passo 3

Para ambas integrais o resultado é o mesmo, já que possuem integrandos idênticos. De acordo com o que estudamos em derivação, a função que quando derivada resulta em cos ⁡ x é a s e n   x , certo? Logo, para a primeira integral:

∫ 0 π 2 cos ⁡ x d x = s e n   x π 2 0

E para a segunda integral:

∫ π 2 3 π 4 cos ⁡ x d x = s e n   x 3 π 4 π 2

Sendo assim, teremos:

∫ 0 3 π 4 cos ⁡ x d x = s e n   x π 2 0 - s e n   x 3 π 4 π 2

Por fim, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, isto é, aplicando os limites de integração:

s e n   x π 2 0 - s e n   x 3 π 4 π 2 = 2 - 2 2

∴ ∫ 0 3 π 4 cos ⁡ x d x = 2 - 2 2

E está aí nosso resultado! 😉

Resposta

∫ 0 3 π 4 cos ⁡ x d x = 2 - 2 2

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Nos exercícios de 29 a 38, calcule a integral definida, usando o segundo teorema fundamental do cálculo.
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