Determine dy/dx :

y = ∫ ln ⁡ x 2 0 e cos ⁡ t   d t

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então F x = ∫ a x f t d t é contínua em [ a , b ] e derivável em a , b e sua derivada f ( x ) é dada por:

F ' x = d d x   ∫ a x f t d t = f ( x )

Contudo, neste caso, o limite inferior de integração é ln ⁡ x 2 . Para isso aplicamos a regra da Ordem de Integração, que é dada por:

∫ b a f x d x =   - ∫ a b f x d x

Assim, temos:

F ' x = d y d x = d d x ∫ ln ⁡ x 2 0 e cos ⁡ t   d t =   - d d x ∫ 0 ln ⁡ x 2 e cos ⁡ t   d t

Passo 2

Neste caso, o limite superior de integração não é x , mas ln  ⁡ x 2 . Isso torna y uma composição de duas funções:

y = - ∫ 0 u e cos ⁡ t d t                                     e                                               u = ln ⁡ x 2

Observe que é como se estivéssemos aplicando a regra da substituição para os limites de integração.

Passo 3

Devemos, portanto, aplicar a regra da cadeia quando determinamarmos d y / d x .

d y d x = d y d u × d u d x

Assim, temos:

F ' x = d y d x = - d d x ∫ 0 u e cos ⁡ t   d t × d u d x = - e cos ⁡ u × 2 x =   - 2 x e cos ⁡ ( ln ⁡ x 2 ) =   - 2 x e cos ⁡ ( 2 ln ⁡ x )

Resposta

- 2 x e cos ⁡ ( 2 ln ⁡ x )

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