Enunciado

31-34. Use o Teorema 5.5.5 para calcular as integrais dadas.

33. b) ∫ 1 4 2 - x x d x

Passo 1

Então pessoal, antes de resolvermos a integral que nos foi dada vamos relembrar do que se trata o Teorema 5.5.5, tudo bem? Show! Ele nos diz o seguinte:

“Se f for integrável em um intervalo fechado contendo os três pontos a ,   b   e   c , então:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Não importando como os pontos estejam ordenados.”

Tendo isso em vista, agora vamos tentar aplicar essa ideia no nosso problema!

Passo 2

A integral que nos foi dada é a seguinte:

∫ 1 4 2 - x x d x

Esse módulo é um problema pra gente, então o que devemos fazer é retirá-lo assumindo algumas restrições, saca só:

f x = 2 - x x = 2 - x x ,       1 ≤ x ≤ 2 x - 2 x ,       2 ≤ x ≤ 4

Feito isso, agora sim podemos aplicar o Teorema 5.5.5 que enunciamos no passo 1. Utilizando-o, teremos:

∫ 1 4 2 - x x d x = ∫ 1 2 2 - x x d x + ∫ 2 4 x - 2 x d x

Simplificando, teremos:

∫ 1 4 2 - x x d x = ∫ 1 2 2 x - 1 d x + ∫ 2 4 1 - 2 x d x

Show!

Passo 3

Para a primeira integral temos o seguinte, galera:

∫ 1 2 2 x - 1 d x = 2 ln ⁡ x - x 2 1

Da mesma forma, para a segunda integral teremos:

∫ 2 4 1 - 2 x d x = x - 2 ln ⁡ x 4 2

Logo:

∫ 1 4 2 - x x d x = 2 ln ⁡ x - x 2 1 - x - 2 ln ⁡ x 4 2

Por fim, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, isto é, aplicando os limites de integração:

2 ln ⁡ x - x 2 1 - x - 2 ln ⁡ x 4 2 = 2 ln ⁡ 2 + 1 - 2 ln ⁡ 4 + 2 ln ⁡ 2 = 1

∴ ∫ 1 4 2 - x x d x = 1

E está aí nosso resultado! 😉

Resposta

∫ 1 4 2 - x x d x = 1

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