Enunciado

31-34. Use o Teorema 5.5.5 para calcular as integrais dadas.

34. b) ∫ 0 3 2 1 1 - x 2 - 2 d x

Passo 1

Então pessoal, antes de resolvermos a integral que nos foi dada vamos relembrar do que se trata o Teorema 5.5.5, tudo bem? Show! Ele nos diz o seguinte:

“Se f for integrável em um intervalo fechado contendo os três pontos a ,   b   e   c , então:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Não importando como os pontos estejam ordenados.”

Tendo isso em vista, agora vamos tentar aplicar essa ideia no nosso problema!

Passo 2

A integral que nos foi dada é a seguinte:

∫ 0 3 2 1 1 - x 2 - 2 d x

Esse módulo é um problema pra gente, então o que devemos fazer é retirá-lo assumindo algumas restrições, saca só:

f x = 1 1 - x 2 - 2 = 1 1 - x 2 - 2 ,       1 2 ≤ x ≤ 3 2 - 1 1 - x 2 + 2 ,       0 ≤ x ≤ 1 2

Feito isso, agora sim podemos aplicar o Teorema 5.5.5 que enunciamos no passo 1. Utilizando-o, teremos:

∫ 0 3 2 1 1 - x 2 - 2 d x = ∫ 0 1 2 - 1 1 - x 2 + 2 d x + ∫ 1 2 3 2 1 1 - x 2 - 2 d x

Show!

Passo 3

Então galera, em ambas integrais aparece um termo bastante conhecido pela turma do cálculo no integrando. Utilizando a tabela 5.2.1 da página 324 do Anton temos:

∫ 0 1 2 - 1 1 - x 2 + 2 = - a r c   s e n   x + 2 1 2 0

E para a segunda integral:

∫ 1 2 3 2 1 1 - x 2 - 2 d x = a r c   s e n   x - 2 3 2 1 2

Logo:

∫ 0 3 2 1 1 - x 2 - 2 d x = - a r c   s e n   x + 2 1 2 0 + a r c   s e n   x - 2 3 2 1 2

Por fim, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, isto é, aplicando os limites de integração:

- a r c   s e n   x + 2 1 2 0 + a r c   s e n   x - 2 3 2 1 2 = 2 - 3 2 - π 6

∴ ∫ 0 3 2 1 1 - x 2 - 2 d x = 2 - 3 2 - π 6

E está aí nosso resultado! 😉

Resposta

∫ 0 3 2 1 1 - x 2 - 2 d x = 2 - 3 2 - π 6

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