Enunciado

31-34. Use o Teorema 5.5.5 para calcular as integrais dadas.

33. a) ∫ - 1 1 e x - 1 d x

Passo 1

Então pessoal, antes de resolvermos a integral que nos foi dada vamos relembrar do que se trata o Teorema 5.5.5, tudo bem? Show! Ele nos diz o seguinte:

“Se f for integrável em um intervalo fechado contendo os três pontos a ,   b   e   c , então:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Não importando como os pontos estejam ordenados.”

Tendo isso em vista, agora vamos tentar aplicar essa ideia no nosso problema!

Passo 2

A integral que nos foi dada é a seguinte:

∫ - 1 1 e x - 1 d x

Esse módulo é um problema pra gente, então o que devemos fazer é retirá-lo assumindo algumas restrições, saca só:

f x = e x - 1 = e x - 1 ,     0 ≤ x ≤ 1 1 - e x ,     - 1 ≤ x ≤ 0

Feito isso, agora sim podemos aplicar o Teorema 5.5.5 que enunciamos no passo 1. Utilizando-o, teremos:

∫ - 1 1 e x - 1 d x = ∫ - 1 0 1 - e x d x + ∫ 0 1 e x - 1 d x

Show!

Passo 3

Note que nas duas integrais aparece e x no integrando, certo? De acordo com o que vimos em derivação, qual é a função que quando derivada resulta em e x ? Ela própria, lembra?! Sendo assim, para a primeira integral teremos:

∫ - 1 0 1 - e x d x = x - e x 0 - 1

E para a segunda integral, teremos:

∫ 0 1 e x - 1 d x = e x - x 1 0

Logo:

∫ - 1 1 e x - 1 d x = x - e x 0 - 1 + e x - x 1 0

Por fim, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, isto é, aplicando os limites de integração:

x - e x 0 - 1 + e x - x 1 0 = e + 1 e - 2

∴ ∫ - 1 1 e x - 1 d x = e + 1 e - 2

E está aí nosso resultado! 😉

Resposta

∫ - 1 1 e x - 1 d x = e + 1 e - 2

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