Enunciado

31-36. Use a Definição 1.4.1 para provar que o limite dado está correto. Em casa caso, para mostrar que lim x → a ⁡ f x = L , fatore f x - L como:

f x - L = " a l g u m a   c o i s a " . x - a

E, então, controle o tamanho de " a l g u m a   c o i s a " por meio de restrições no tamanho de δ .

34. lim x → 1 2 ⁡ 2 x + 3 x = 8

Passo 1

Então pessoal, da definição rigorosa de limites temos que:

lim x → a ⁡ f x = L

Se, para qualquer número ϵ > 0 , pudermos encontrar um número δ > 0 tal que:

f x - L < ϵ   s e   0 < x - a < δ

Para o limite que nos foi dado, temos os seguintes dados:

f x = 2 x + 3 x

L = 8

a = 1 2

Ok, dados anotados!

Passo 2

Como o enunciado não define um δ , vamos escolher um valor conveniente para nós, ok? Considerando que δ < 1 4 , teremos:

0 < x - a < δ

0 < x - 1 2 < δ

Para a segunda restrição:

f x - L < ϵ

2 x + 3 x - 8 < ϵ

6 x - 3 x < ϵ

6 x - 1 2 1 4 = 24 x - 1 2 < ϵ

x - 1 2 < ϵ 24

Comparando os resultados chegamos a conclusão de que:

δ = min ⁡ 1 4 , ϵ 24

Dessa forma, fica provado que, de fato, dado qualquer número positivo, conseguimos encontrar um número positivo δ que satisfaz as condições dadas!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o limite lim x → 0 - ⁡ 2 x 1 5
Determine o limite lim x → 0 + ⁡ 1 3 x
Determine o limite lim x → 0 + ⁡ 2 x 1 5
Determine o limite lim x → - 5 - ⁡ 3 x 2 x + 10
Determine o limite lim x → 0 ⁡ - 1 x 2 x + 1