Enunciado

31-36. Use a Definição 1.4.1 para provar que o limite dado está correto. Em casa caso, para mostrar que lim x → a ⁡ f x = L , fatore f x - L como:

f x - L = " a l g u m a   c o i s a " . x - a

E, então, controle o tamanho de " a l g u m a   c o i s a " por meio de restrições no tamanho de δ .

35. lim x → 4 ⁡ x = 2

Passo 1

Então pessoal, da definição rigorosa de limites temos que:

lim x → a ⁡ f x = L

Se, para qualquer número ϵ > 0 , pudermos encontrar um número δ > 0 tal que:

f x - L < ϵ   s e   0 < x - a < δ

Para o limite que nos foi dado, temos os seguintes dados:

f x = x

L = 2

a = 4

Ok, dados anotados!

Passo 2

Como o enunciado não define um δ , vamos escolher um valor conveniente para nós, ok? Considerando que δ < 4 , teremos:

f x - L < ϵ

x - 2 < ϵ

Simplificando:

x - 2 . x + 2 x + 2 < ϵ

x - 4 x + 2 < ϵ

1 2 . x - 4 < ϵ

x - 4 < 2 ϵ

Da segunda restrição:

0 < x - a < δ

0 < x - 4 < δ

Comparando os resultados chegamos a conclusão de que:

δ = min ⁡ 2 ϵ ,   4

Dessa forma, fica provado que, de fato, dado qualquer número positivo, conseguimos encontrar um número positivo δ que satisfaz as condições dadas!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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13- Determine os limites nos Exercícios 11-18 lim x → - 2 + ⁡ x x + 1 2 x + 5 x 2 + x
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12- Determine os limites nos Exercícios 11-18 lim x → 1 + ⁡ x - 1 x + 2
Determine o limite QUOTE _x0001_
Determine o limite l i m x → 0 -5 2 x